Paradosso del compleanno: perché bastano 23 persone

Quante persone servono in una stanza perché due di loro, con buona probabilità, compiano gli anni lo stesso giorno? Quasi tutti rispondono circa 180, la metà dei 365 giorni dell'anno. La risposta giusta è solo 23. Con 23 persone la probabilità di un compleanno in comune è del 50,7%, poco più di un lancio di moneta. Questo risultato sorprendente si chiama paradosso del compleanno e, una volta capito come funziona, non ti fiderai mai più del tutto del tuo istinto quando si parla di caso.

I numeri

Questi valori presuppongono 365 compleanni ugualmente probabili e ignorano il 29 febbraio. Sono calcoli esatti, non stime.

Con 70 persone un compleanno in comune è quasi certo. È davvero garantito solo con 367 persone: contando il 29 febbraio i compleanni possibili sono 366, quindi una persona in più deve per forza condividerne uno con qualcuno.

Perché sembra sbagliato

Il trucco è che la domanda non è «qualcuno compie gli anni il mio stesso giorno?», ma «due persone qualsiasi compiono gli anni lo stesso giorno?». Sono domande molto diverse.

• In una stanza di 23 persone ci sono 253 coppie diverse (23 × 22 ÷ 2). Ognuna di queste coppie è un'occasione di coincidenza.
• La probabilità che una delle altre 22 persone compia gli anni il tuo stesso giorno è solo del 6% circa. Servirebbero 253 altre persone per arrivare al 50% di probabilità che qualcuno coincida proprio con te.
• Il nostro cervello conta le persone, non le coppie. Il numero di coppie cresce molto più in fretta del numero di persone: 30 persone formano già 435 coppie.

Come si calcola (il modo facile)

Calcolare direttamente la probabilità di «almeno una coincidenza» è complicato. È molto più facile calcolare la probabilità che nessuno coincida e poi sottrarla dal 100%.

1. La prima persona può avere qualsiasi compleanno.
2. La seconda deve evitare quel giorno: 364 su 365.
3. La terza deve evitare due giorni: 363 su 365.
4. Si va avanti così e si moltiplicano tutte le frazioni tra loro. Per 23 persone il prodotto è circa 0,493, quindi c'è il 49,3% di probabilità che tutti i compleanni siano diversi.
5. Si sottrae da 1: 1 − 0,493 = 0,507, cioè il 50,7% di probabilità che almeno due persone compiano gli anni lo stesso giorno.

Questo trucco del «calcolare il contrario» è una delle idee più utili della probabilità. Funziona altrettanto bene con i dadi, per esempio per la probabilità di ottenere almeno un sei in quattro lanci: 1 − (5/6)⁴, circa il 52%. Ne parliamo nell'articolo sulla probabilità dei dadi.

I compleanni reali cambiano la risposta?

Nella realtà i compleanni non sono distribuiti in modo perfettamente uniforme: in molti paesi nascono più bambini in alcuni mesi che in altri, e meno nei giorni festivi. Compleanni distribuiti in modo irregolare rendono una coincidenza solo più probabile, mai meno. Quindi il dato delle 23 persone è, semmai, una leggera sottostima.

Prova tu: un esperimento in classe

1. Chiedi a tutti di scrivere il proprio compleanno (solo giorno e mese) su un foglietto.
2. Prima di controllare, fai votare la classe: secondo loro ci sono due persone che compiono gli anni lo stesso giorno?
3. Leggi le date ad alta voce, oppure mettile in ordine alla lavagna, e cerca una coincidenza.
4. Confronta il risultato con la tabella qui sopra per il numero di persone della tua classe.

Con una classe tipica da 25 a 30 persone, la probabilità di una coincidenza va dal 57% al 71%, quindi funziona più spesso di quanto fallisca. Se il tuo gruppo è piccolo, simula invece una stanza grande: usa il generatore di numeri casuali per estrarre 23 numeri da 1 a 365 con Senza ripetizioni non spuntato, uno per ogni persona immaginaria, e prova qualche volta. Vedrai un numero ripetuto circa una volta su due.

Dove compare il paradosso del compleanno

• Calcio: in una partita ci sono 23 persone in campo (22 giocatori e l'arbitro), quindi ci si può aspettare che due di loro compiano gli anni lo stesso giorno in circa metà delle partite.
• Sicurezza informatica: l'«attacco del compleanno» usa la stessa matematica per trovare due input che producono la stessa impronta digitale, molto più velocemente di quanto ci si aspetterebbe.
• Coincidenze: tanti momenti da «ma che probabilità c'erano?», come incontrare in vacanza qualcuno della propria città, sembrano improbabili perché pensiamo a una coincidenza specifica invece che a tutte quelle possibili.

È la stessa lezione che spiega perché noi esseri umani non sappiamo essere casuali: il nostro senso di ciò che è probabile è una pessima guida. Il problema di Monty Hall inganna le persone allo stesso modo. Per le decisioni in cui vuoi il vero caso e non l'intuito, lascia rispondere il Pulsante Sì o No oppure leggi le vere probabilità di testa o croce.

FAQ

Che cos'è il paradosso del compleanno?

È il fatto sorprendente che in un gruppo di sole 23 persone c'è il 50,7% di probabilità che almeno due di loro compiano gli anni lo stesso giorno. Non è un vero paradosso, solo un risultato controintuitivo.

Perché bastano solo 23 persone?

Perché la domanda riguarda due persone qualsiasi, non te. 23 persone formano 253 coppie diverse, e ogni coppia è un'occasione per un compleanno in comune.

Quante persone servono per il 99% di probabilità di un compleanno in comune?

Con 57 persone la probabilità è circa del 99,0%, con 70 persone circa del 99,9%. Una coincidenza è garantita del tutto solo con 367 persone.

Che probabilità c'è che qualcuno compia gli anni il mio stesso giorno?

Molto più bassa. Tra 22 altre persone la probabilità che una di loro abbia esattamente il tuo compleanno è solo del 6% circa. Servono 253 altre persone per arrivare al 50%.

Come si calcola il paradosso del compleanno?

Si moltiplicano le probabilità che ogni nuova persona eviti tutti i compleanni precedenti (364/365, 363/365 e così via) per ottenere la probabilità di nessuna coincidenza, poi si sottrae il risultato da 1.