Парадокс дней рождения: почему хватает 23 человек

Сколько человек должно собраться в одной комнате, чтобы у двоих из них, скорее всего, совпал день рождения? Большинство называет около 180, то есть половину из 365 дней года. На самом деле хватит 23. В группе из 23 человек вероятность совпадения дней рождения равна 50,7 %, это чуть больше, чем шанс угадать сторону подброшенной монетки. Этот неожиданный результат называют парадоксом дней рождения, и стоит один раз понять, как он работает, как вы уже никогда не будете так же слепо доверять чутью, когда речь заходит о случайности.

Цифры

Расчёты исходят из того, что все 365 дней рождения равновероятны, а 29 февраля не учитывается. Это точные вычисления, а не оценки.

К 70 людям совпадение почти неизбежно. А по-настоящему гарантировано оно только при 367 людях: с учётом 29 февраля возможных дней рождения 366, поэтому если людей на одного больше, кто-то обязательно родился в один день с кем-то ещё.

Почему это кажется неправильным

Весь фокус в том, что вопрос звучит не «родился ли кто-то в один день со мной?», а «совпадают ли дни рождения у каких-нибудь двоих?». Это совсем разные вопросы.

• В комнате из 23 человек 253 разные пары (23 × 22 ÷ 2). Каждая из этих пар даёт шанс на совпадение.
• Вероятность, что среди остальных 22 человек кто-то родился в ваш день, всего около 6 %. Чтобы шанс совпасть именно с вами дошёл до 50 %, понадобилось бы 253 других человека.
• Мозг считает людей, а не пары. А количество пар растёт гораздо быстрее количества людей: 30 человек дают уже 435 пар.

Как это посчитать (простой способ)

Считать вероятность «хотя бы одного совпадения» напрямую неудобно. Гораздо проще найти вероятность того, что ни у кого дни рождения не совпадают, а потом вычесть её из 100 %.

1. У первого человека день рождения может быть любым.
2. Второй должен не попасть в этот день: 364 из 365.
3. Третий должен обойти уже два дня: 363 из 365.
4. Продолжайте так же и перемножьте все дроби. Для 23 человек произведение получается около 0,493, то есть с вероятностью 49,3 % все дни рождения разные.
5. Вычтите это из 1: 1 − 0,493 = 0,507, то есть вероятность 50,7 %, что хотя бы у двоих день рождения совпадает.

Приём «посчитай противоположное» считается одним из самых полезных в теории вероятностей. Он так же хорошо работает и с кубиками, например для шанса выбросить хотя бы одну шестёрку за четыре броска: 1 − (5/6)⁴, примерно 52 %. Подробнее об этом в статье о вероятности выпадения кубика.

Меняют ли ответ реальные дни рождения?

В жизни дни рождения распределены не идеально равномерно: во многих странах в одни месяцы рождается больше детей, чем в другие, а в праздничные дни меньше. Но неравномерность только повышает шанс совпадения и никогда его не снижает. Так что цифра для 23 человек, если на то пошло, даже немного занижена.

Попробуйте сами: опыт в классе

1. Попросите всех написать на листочке свой день рождения (только число и месяц).
2. Перед проверкой устройте голосование: верит ли класс, что у кого-то дни рождения совпадут?
3. Зачитайте даты вслух или выпишите их по порядку на доске и поищите совпадение.
4. Сравните результат с таблицей выше для вашего числа учеников.

В обычном классе, где от 25 до 30 учеников, вероятность совпадения составляет от 57 % до 71 %, так что опыт чаще удаётся, чем нет. Если группа маленькая, смоделируйте большую комнату: в генераторе случайных чисел выберите 23 числа от 1 до 365, сняв галочку «Без повторов», по одному на каждого воображаемого человека, и повторите несколько раз. Примерно в половине случаев среди чисел окажется повтор.

Где встречается парадокс дней рождения

• Футбол: во время матча на поле 23 человека (22 игрока и судья), поэтому можно ожидать, что примерно в половине всех матчей у двоих из них совпадёт день рождения.
• Компьютерная безопасность: «атака дней рождения» использует ту же математику, чтобы найти два разных входных значения с одинаковым цифровым отпечатком гораздо быстрее, чем можно было бы ожидать.
• Совпадения: многие моменты из серии «ну и какова была вероятность?», например встреча с земляком в отпуске, кажутся невероятными, потому что мы думаем об одном конкретном совпадении, а не обо всех возможных.

Это тот же урок, что и в статье о том, почему человеку так трудно быть случайным: чутьё плохо подсказывает, что вероятно, а что нет. Если для решения нужен настоящий случай, а не интуиция, доверьте ответ кнопке да или нет или почитайте о реальной вероятности орла и решки.

Частые вопросы

Что такое парадокс дней рождения?

Это удивительный факт: в группе всего из 23 человек вероятность того, что хотя бы у двоих совпадает день рождения, равна 50,7 %. Настоящим парадоксом это не является, просто результат противоречит интуиции.

Почему достаточно всего 23 человек?

Потому что вопрос касается любых двоих, а не именно вас. 23 человека образуют 253 разные пары, и каждая пара даёт шанс на совпадение дня рождения.

Сколько нужно человек, чтобы дни рождения совпали с вероятностью 99 %?

57 человек дают примерно 99,0 %, а 70 человек около 99,9 %. Полностью гарантировано совпадение только при 367 людях.

Какова вероятность, что кто-то родился в один день со мной?

Гораздо ниже. Среди 22 других людей вероятность, что у кого-то из них день рождения точно в ваш день, всего около 6 %. Чтобы дойти до 50 %, нужно 253 других человека.

Как рассчитать парадокс дней рождения?

Перемножьте вероятности того, что каждый новый человек не попадает ни в один из уже занятых дней рождения (364/365, 363/365 и так далее), получите вероятность отсутствия совпадений и вычтите её из 1.