Doğum Günü Paradoksu: Neden 23 Kişi Yeterli?

Bir odada kaç kişi olmalı ki ikisinin doğum günü büyük ihtimalle aynı olsun? Çoğu kişi, yılın 365 gününün yarısı olan 180 civarında bir sayı tahmin eder. Gerçek cevap yalnızca 23. 23 kişilik bir grupta ortak doğum günü olasılığı %50,7, yani yazı turadan biraz daha yüksek. Bu şaşırtıcı sonuca doğum günü paradoksu (ya da doğum günü problemi) denir. Nasıl işlediğini bir kez gördüğünüzde, şans konusunda içgüdülerinize bir daha asla eskisi kadar güvenmezsiniz.

Rakamlar

Bu rakamlar 365 doğum gününün eşit olasılıklı olduğunu varsayar ve 29 Şubat'ı hesaba katmaz. Tahmin değil, kesin hesaplardır.

70 kişiye gelindiğinde ortak bir doğum günü neredeyse kesindir. Ama gerçek anlamda garanti ancak 367 kişide vardır: 29 Şubat dahil 366 olası doğum günü olduğuna göre, bundan bir kişi fazlası olunca biri mutlaka başka biriyle aynı günü paylaşır.

Neden Yanlış Geliyor?

İşin püf noktası, sorunun "biri benimle aynı gün mü doğmuş?" olmaması. Asıl soru şu: "herhangi iki kişinin doğum günü aynı mı?" Bunlar birbirinden çok farklı sorular.

• 23 kişilik bir odada 253 farklı ikili vardır (23 × 22 ÷ 2). Bu ikililerin her biri bir eşleşme şansıdır.
• Diğer 22 kişiden birinin sizin doğum gününüzü paylaşma olasılığı yalnızca %6 civarındadır. Özellikle sizinle eşleşme olasılığının %50'ye çıkması için 253 kişi daha gerekir.
• Beynimiz ikilileri değil kişileri sayar. İkili sayısı ise kişi sayısından çok daha hızlı büyür: 30 kişi şimdiden 435 ikili eder.

Nasıl Hesaplanır? (Kolay Yol)

"En az bir eşleşme" olasılığını doğrudan hesaplamak zahmetlidir. Hiç kimsenin eşleşmeme olasılığını bulup %100'den çıkarmak çok daha kolaydır.

1. Birinci kişinin doğum günü herhangi bir gün olabilir.
2. İkinci kişi o günden kaçınmalı: 365'te 364.
3. Üçüncü kişi iki günden kaçınmalı: 365'te 363.
4. Böyle devam edin ve tüm kesirleri çarpın. 23 kişi için bu çarpım yaklaşık 0,493 eder; yani tüm doğum günlerinin farklı olma olasılığı %49,3.
5. 1'den çıkarın: 1 − 0,493 = 0,507, yani en az iki kişinin doğum gününün aynı olma olasılığı %50,7.

Bu "tersini hesapla" yöntemi olasılıktaki en kullanışlı fikirlerden biridir. Zar sorularında da aynı şekilde işe yarar; örneğin dört atışta en az bir kez 6 gelme olasılığı: 1 − (5/6)⁴, yaklaşık %52. Ayrıntılar zar olasılıkları yazısında.

Gerçek Doğum Günleri Cevabı Değiştirir mi?

Gerçek hayatta doğum günleri kusursuz biçimde eşit dağılmaz: birçok ülkede bazı aylarda diğerlerinden daha çok bebek doğar, resmî tatillerde ise daha az. Dengesiz dağılım eşleşmeyi yalnızca daha olası kılar, asla daha az değil. Yani 23 kişi için verilen rakam, olsa olsa gerçeğin biraz altında kalan bir tahmindir.

Deneyin: Sınıfta Bir Deney

1. Herkesten doğum gününü (yalnızca gün ve ay) bir kâğıda yazmasını isteyin.
2. Kontrol etmeden önce sınıfı oylamaya sunun: sizce iki kişinin doğum günü aynı mı?
3. Tarihleri yüksek sesle okuyun ya da tahtada sıralayın ve eşleşme arayın.
4. Sonucu, sınıf mevcudunuza göre yukarıdaki tabloyla karşılaştırın.

25 ila 30 kişilik tipik bir sınıfta eşleşme olasılığı %57 ile %71 arasındadır, yani deney çoğu zaman tutar. Grubunuz küçükse büyük bir odayı canlandırın: Rastgele Sayı Üretici ile 1'den 365'e kadar 23 sayı çekin, her hayali kişi için bir tane; bunu yaparken Tekrarsız kutusunun işaretini kaldırın ve birkaç kez deneyin. Aşağı yukarı her iki denemeden birinde tekrar eden bir sayı göreceksiniz.

Doğum Günü Paradoksu Nerelerde Karşımıza Çıkar?

• Futbol: bir maçta sahada 23 kişi bulunur (22 oyuncu ve hakem), bu yüzden maçların yaklaşık yarısında ikisinin doğum gününün aynı olmasını beklersiniz.
• Bilgisayar güvenliği: "doğum günü saldırısı" aynı matematiği kullanarak aynı dijital parmak izini üreten iki girdiyi beklenenden çok daha hızlı bulur.
• Tesadüfler: tatilde memleketten birine rastlamak gibi pek çok "bunun ihtimali neydi ki?" anı, olası tüm eşleşmeleri değil tek bir belirli eşleşmeyi düşündüğümüz için bize çok düşük ihtimalli gelir.

Bu, insanların neden rastgele seçemediği konusundaki dersle aynı: neyin olası olduğuna dair sezgimiz kötü bir rehberdir. Sezgi değil gerçek şans istediğiniz kararlarda cevabı Evet Hayır Butonu versin ya da gerçek yazı tura olasılığı hakkında okuyun.

Sık Sorulan Sorular

Doğum günü paradoksu nedir?

Yalnızca 23 kişilik bir grupta en az iki kişinin doğum gününün aynı olma olasılığının %50,7 olduğunu gösteren şaşırtıcı bir gerçektir. Aslında gerçek bir paradoks değil, sadece sezgiye ters düşen bir sonuçtur.

Neden yalnızca 23 kişi yeterli?

Çünkü soru sizinle değil, herhangi iki kişiyle ilgili. 23 kişi 253 farklı ikili oluşturur ve her ikili ortak bir doğum günü için bir şanstır.

%99 olasılıkla ortak doğum günü için kaç kişi gerekir?

57 kişi yaklaşık %99,0, 70 kişi ise yaklaşık %99,9 olasılık verir. Eşleşme ancak 367 kişide tamamen garantidir.

Birinin benimle aynı gün doğmuş olma olasılığı nedir?

Çok daha düşük. Diğer 22 kişi arasında birinin tam olarak sizin doğum gününüzde doğmuş olma olasılığı yalnızca %6 civarındadır. %50'ye ulaşmak için 253 kişi daha gerekir.

Doğum günü paradoksu nasıl hesaplanır?

Her yeni kişinin önceki tüm doğum günlerinden kaçınma olasılıklarını (364/365, 363/365 ve böyle devam ederek) çarpıp hiç eşleşme olmama olasılığını bulun, sonra bunu 1'den çıkarın.