Paradoja del cumpleaños: por qué bastan 23 personas

¿Cuántas personas tiene que haber en una sala para que, probablemente, dos de ellas cumplan años el mismo día? La mayoría calcula unas 180, la mitad de los 365 días del año. La respuesta real es solo 23. Con 23 personas, la probabilidad de que coincidan dos cumpleaños es del 50,7 %, algo mejor que lanzar una moneda al aire. Este resultado sorprendente se conoce como la paradoja del cumpleaños (o problema del cumpleaños), y en cuanto entiendes cómo funciona, ya no vuelves a fiarte igual de tu intuición sobre el azar.

Los números

Estas cifras suponen 365 cumpleaños igual de probables y no tienen en cuenta el 29 de febrero. Son cálculos exactos, no estimaciones.

Con 70 personas, que dos compartan cumpleaños es casi seguro. Solo con 367 personas está realmente garantizado: contando el 29 de febrero hay 366 cumpleaños posibles, así que con una persona más alguien tiene que coincidir con otra.

Por qué choca con la intuición

El truco está en que la pregunta no es «¿alguien cumple años el mismo día que yo?», sino «¿hay dos personas cualesquiera que cumplan años el mismo día?». Son preguntas muy distintas.

• En una sala con 23 personas hay 253 parejas distintas (23 × 22 ÷ 2). Cada una de esas parejas es una oportunidad de coincidencia.
• La probabilidad de que alguna de las otras 22 personas cumpla años el mismo día que tú es solo de un 6 % aproximadamente. Harían falta 253 personas más para llegar a un 50 % de coincidir contigo en concreto.
• Nuestro cerebro cuenta personas, no parejas. Y el número de parejas crece mucho más rápido que el de personas: 30 personas ya forman 435 parejas.

Cómo calcularlo (de la forma fácil)

Calcular directamente la probabilidad de «al menos una coincidencia» es un lío. Es mucho más fácil calcular la probabilidad de que nadie coincida y restarla del 100 %.

1. La primera persona puede cumplir años cualquier día.
2. La segunda tiene que evitar ese día: 364 de 365.
3. La tercera tiene que evitar dos días: 363 de 365.
4. Sigue así y multiplica todas las fracciones. Para 23 personas, el producto da aproximadamente 0,493, así que hay un 49,3 % de probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos.
5. Réstalo de 1: 1 − 0,493 = 0,507, es decir, un 50,7 % de probabilidad de que al menos dos personas compartan cumpleaños.

Este truco de «calcular lo contrario» es una de las ideas más útiles de la probabilidad. Funciona igual de bien con los dados, por ejemplo para la probabilidad de sacar al menos un seis en cuatro tiradas: 1 − (5/6)⁴, alrededor del 52 %. Más sobre esto en probabilidad de dados.

¿Cambian la respuesta los cumpleaños reales?

En la vida real los cumpleaños no se reparten de forma perfectamente uniforme: en muchos países nacen más bebés en unos meses que en otros, y menos en los días festivos. Un reparto desigual solo hace que la coincidencia sea más probable, nunca menos. Así que la cifra para 23 personas, en todo caso, se queda ligeramente corta.

Pruébalo: un experimento en clase

1. Pide a todos que escriban su cumpleaños (solo día y mes) en un papelito.
2. Antes de comprobarlo, haz que la clase vote: ¿creen que dos personas comparten cumpleaños?
3. Lee las fechas en voz alta, u ordénalas en la pizarra, y busca una coincidencia.
4. Compara el resultado con la tabla de arriba según el número de alumnos.

En una clase típica de 25 a 30 alumnos, la probabilidad de coincidencia va del 57 % al 71 %, así que el experimento sale bien más veces de las que falla. Si el grupo es pequeño, simula una sala grande: usa el generador de números aleatorios para sacar 23 números del 1 al 365 con la casilla Sin repetir desmarcada, uno por cada persona imaginaria, y repítelo unas cuantas veces. Verás algún número repetido más o menos la mitad de las veces.

Dónde aparece la paradoja del cumpleaños

• Fútbol: en un partido hay 23 personas en el campo (22 jugadores y el árbitro), así que cabría esperar que dos de ellas compartan cumpleaños en aproximadamente la mitad de los partidos.
• Seguridad informática: el «ataque de cumpleaños» usa las mismas matemáticas para encontrar dos entradas que producen la misma huella digital mucho más rápido de lo que cabría esperar.
• Casualidades: muchos momentos de «¿qué probabilidades había?», como encontrarte de vacaciones con alguien de tu pueblo, parecen improbables porque pensamos en una coincidencia concreta y no en todas las posibles.

Es la misma lección que por qué a las personas se nos da tan mal ser aleatorias: nuestra intuición sobre lo que es probable es una mala guía. Para decisiones en las que quieras azar de verdad y no intuición, deja que responda el Botón de Sí o No, o lee sobre la probabilidad real de cara o cruz.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la paradoja del cumpleaños?

Es el hecho sorprendente de que en un grupo de solo 23 personas hay un 50,7 % de probabilidad de que al menos dos cumplan años el mismo día. No es una paradoja de verdad, solo un resultado que va contra la intuición.

¿Por qué bastan solo 23 personas?

Porque la pregunta trata de dos personas cualesquiera, no de ti. 23 personas forman 253 parejas distintas, y cada pareja es una oportunidad de compartir cumpleaños.

¿Cuántas personas hacen falta para un 99 % de probabilidad de compartir cumpleaños?

57 personas dan alrededor de un 99,0 % de probabilidad, y 70 personas, alrededor de un 99,9 %. La coincidencia solo está totalmente garantizada con 367 personas.

¿Qué probabilidad hay de que alguien cumpla años el mismo día que yo?

Mucho menor. Entre otras 22 personas, la probabilidad de que una de ellas cumpla años exactamente el mismo día que tú es solo de un 6 % aproximadamente. Necesitas 253 personas más para llegar a un 50 %.

¿Cómo se calcula la paradoja del cumpleaños?

Multiplica las probabilidades de que cada persona nueva evite todos los cumpleaños anteriores (364/365, 363/365 y así sucesivamente) para obtener la probabilidad de que no haya ninguna coincidencia y, después, réstala de 1.