Probabilidad de cara o cruz: ¿de verdad es 50/50?

Todo el mundo ve el cara o cruz como la decisión más justa que existe: un lado, el otro, mismas probabilidades. Para casi cualquier uso práctico es así. Pero físicos y estadísticos han estudiado de cerca monedas reales lanzadas por manos reales, y la respuesta es algo más interesante que un 50/50 limpio. En España lo llamamos cara o cruz, en buena parte de Sudamérica cara o sello y en México águila o sol, pero la física es la misma.

La respuesta corta

Una moneda justa, bien lanzada, sale cara más o menos la mitad de las veces y cruz más o menos la otra mitad. Los mejores datos indican que una moneda atrapada en la mano tiene una probabilidad ligeramente mayor, alrededor del 51 %, de caer por el mismo lado con el que empezó. Esa ventaja es demasiado pequeña para importar cuando lanzas una vez para decidir quién empieza, pero es real y se ha medido.

El sesgo del 51 % hacia el lado inicial

En 2007, el estadístico Persi Diaconis, junto con Susan Holmes y Richard Montgomery, publicó en la revista SIAM Review el artículo "Dynamical Bias in the Coin Toss" (Sesgo dinámico en el lanzamiento de una moneda). Modelaron la moneda lanzada como un disco que gira y se tambalea, y demostraron que pasa algo más de su vuelo con la cara inicial hacia arriba. Su modelo predijo que una moneda atrapada en la mano cae por el lado con el que empezó alrededor del 51 % de las veces.

En 2023, un equipo dirigido por František Bartoš puso a prueba esa predicción a gran escala. 48 personas lanzaron monedas de 46 divisas un total de 350.757 veces y anotaron el lado inicial y el resultado. La moneda cayó por el mismo lado con el que empezó el 50,8 % de las veces, muy cerca del 51 % que predecía el modelo. Algunas personas mostraron un sesgo más fuerte que otras, lo que encaja con la idea de que depende de cómo lanza cada uno y no de la moneda en sí.

El mismo estudio no encontró ninguna diferencia relevante entre cara y cruz como tales. La ventaja tiene que ver con qué lado empieza arriba, no con el diseño de la moneda.

Qué significa esto en la práctica

• Si nadie sabe qué lado estaba arriba al empezar, el lanzamiento es en la práctica un 50/50 para todos.
• Si quien elige ve el lado inicial, podría ganar alrededor de un punto porcentual eligiendo ese lado. En un solo lanzamiento, eso es casi nada.
• Dejar que la moneda caiga al suelo y rebote añade más azar que atraparla.
• Para cualquier cosa importante, lanza sin que se vea el lado inicial o usa una herramienta aleatoria.

Lanzar no es hacer girar

Hacer girar una moneda de canto sobre una mesa es otro experimento. Una moneda que gira va frenando y cae según cómo se reparte su peso y la forma de su canto, así que las pequeñas imperfecciones de la moneda pesan mucho más que en un lanzamiento. Si quieres un resultado justo, lánzala, no la hagas girar.

Rachas: la moneda no tiene memoria

Después de cinco caras seguidas, mucha gente siente que ya "toca" cruz. No es así. Cada lanzamiento justo es independiente, así que el siguiente sigue siendo más o menos 50/50. Este error se llama falacia del jugador. Las rachas, en cambio, son normales: en 100 lanzamientos justos es más probable que aparezca una racha de seis o más del mismo lado que no.

También es común el error contrario. Cuando alguien escribe a mano una secuencia "aleatoria", cambia de lado demasiado a menudo y evita las rachas largas, y por eso las secuencias inventadas se detectan con facilidad.

Cómo hacer que un cara o cruz sea lo más justo posible

1. Oculta el lado inicial a quien va a elegir.
2. Lanza la moneda alto y con mucho giro, no con un bamboleo corto.
3. Deja que caiga sobre una superficie en vez de atraparla, o atrápala sin mirar y ponla de golpe sobre el dorso de la mano.
4. Antes del lanzamiento, que todos acuerden qué significa cara y qué significa cruz, para que nadie cambie el trato después.

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Fuentes

• Diaconis, P., Holmes, S. and Montgomery, R. (2007). Dynamical Bias in the Coin Toss. SIAM Review, 49(2), 211-235.
• Bartoš, F. et al. (2023). Fair coins tend to land on the same side they started: Evidence from 350,757 flips. arXiv:2310.04153.

Preguntas frecuentes

¿Lanzar una moneda es realmente 50/50?

Casi. Las investigaciones muestran que una moneda atrapada en la mano cae por el lado con el que empezó alrededor del 51 % de las veces, así que está muy cerca del 50/50, pero no es exacto.

¿Sale más cara o más cruz?

Ninguna de las dos. El estudio de 350.757 lanzamientos no encontró una diferencia real entre cara y cruz; el pequeño sesgo favorece al lado que empezó hacia arriba.

Después de varias caras seguidas, ¿es más probable que salga cruz?

No. Cada lanzamiento justo es independiente, así que los resultados anteriores no cambian el siguiente. Pensar que ya toca cruz es la falacia del jugador.

¿Es justo un cara o cruz online?

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