Paradoxe des anniversaires : pourquoi 23 personnes suffisent

Combien faut-il de personnes dans une pièce pour que deux d’entre elles soient probablement nées le même jour ? La plupart des gens répondent environ 180, la moitié des 365 jours de l’année. La vraie réponse : 23 seulement. Avec 23 personnes, la probabilité d’un anniversaire commun est de 50,7 %, un peu mieux qu’un pile ou face. Ce résultat surprenant s’appelle le paradoxe des anniversaires, et une fois que vous aurez compris comment il fonctionne, vous ne ferez plus jamais tout à fait confiance à votre intuition face au hasard.

Les chiffres

Ces valeurs supposent 365 dates d’anniversaire également probables et ignorent le 29 février. Ce sont des calculs exacts, pas des estimations.

À 70 personnes, un anniversaire commun est presque certain. Il n’est vraiment garanti qu’à partir de 367 personnes : avec 366 dates possibles en comptant le 29 février, une personne de plus doit forcément partager la sienne avec quelqu’un.

Pourquoi cela paraît faux

L’astuce, c’est que la question n’est pas « quelqu’un est-il né le même jour que moi ? » mais « deux personnes quelconques sont-elles nées le même jour ? ». Ce sont deux questions très différentes.

• Dans une pièce de 23 personnes, il y a 253 paires différentes (23 × 22 ÷ 2). Chacune de ces paires est une occasion de coïncidence.
• La probabilité que l’une des 22 autres personnes ait votre date d’anniversaire n’est que d’environ 6 %. Il faudrait 253 autres personnes pour atteindre 50 % de chances que quelqu’un tombe précisément sur votre date.
• Notre cerveau compte les personnes, pas les paires. Le nombre de paires augmente bien plus vite que le nombre de personnes : 30 personnes forment déjà 435 paires.

Comment le calculer (la méthode simple)

Calculer directement la probabilité d’avoir « au moins une coïncidence » est fastidieux. Il est beaucoup plus simple de calculer la probabilité que personne ne partage son anniversaire avec un autre, puis de la soustraire de 100 %.

1. La première personne peut avoir n’importe quelle date d’anniversaire.
2. La deuxième doit éviter ce jour-là : 364 sur 365.
3. La troisième doit éviter deux jours : 363 sur 365.
4. Continuez ainsi et multipliez toutes les fractions entre elles. Pour 23 personnes, ce produit vaut environ 0,493 : il y a donc 49,3 % de chances que toutes les dates soient différentes.
5. Soustrayez de 1 : 1 − 0,493 = 0,507, soit 50,7 % de chances qu’au moins deux personnes partagent un anniversaire.

Cette astuce qui consiste à « calculer l’inverse » est l’une des idées les plus utiles en probabilités. Elle marche tout aussi bien pour les dés, par exemple pour la probabilité d’obtenir au moins un six en quatre lancers : 1 − (5/6)⁴, soit environ 52 %. Pour aller plus loin, lisez notre article sur les probabilités des dés.

Les vraies dates d’anniversaire changent-elles la réponse ?

Dans la vraie vie, les anniversaires ne sont pas répartis de façon parfaitement égale : dans de nombreux pays, il naît plus de bébés certains mois que d’autres, et moins les jours fériés. Or une répartition inégale rend une coïncidence seulement plus probable, jamais moins. Le chiffre obtenu pour 23 personnes est donc, si l’on veut être précis, légèrement sous-estimé.

À vous de jouer : une expérience en classe

1. Demandez à chacun d’écrire sa date d’anniversaire (jour et mois seulement) sur un bout de papier.
2. Avant de vérifier, faites voter la classe : pense-t-elle que deux personnes sont nées le même jour ?
3. Lisez les dates à voix haute, ou classez-les au tableau, et cherchez une coïncidence.
4. Comparez le résultat avec le tableau ci-dessus pour l’effectif de votre classe.

Avec une classe typique de 25 à 30 élèves, la probabilité d’une coïncidence va de 57 % à 71 % : l’expérience réussit donc plus souvent qu’elle n’échoue. Si votre groupe est petit, simulez plutôt une grande salle : utilisez le générateur de nombres aléatoires pour tirer 23 nombres de 1 à 365 en décochant Sans doublons, un pour chaque personne imaginaire, et recommencez plusieurs fois. Vous verrez un doublon environ une fois sur deux.

Où l’on retrouve le paradoxe des anniversaires

• Football : un match réunit 23 personnes sur le terrain (22 joueurs et l’arbitre), donc on peut s’attendre à ce que deux d’entre elles partagent un anniversaire dans environ la moitié des matchs.
• Sécurité informatique : l’« attaque des anniversaires » utilise les mêmes mathématiques pour trouver deux entrées qui produisent la même empreinte numérique, bien plus vite qu’on ne pourrait le croire.
• Coïncidences : beaucoup de moments « le monde est petit ! », comme tomber en vacances sur quelqu’un de chez soi, paraissent improbables parce que nous pensons à une coïncidence précise au lieu de toutes celles qui sont possibles.

C’est la même leçon que celle qui explique pourquoi nous avons du mal à être aléatoires : notre idée de ce qui est probable est un mauvais guide. Le problème de Monty Hall piège les gens de la même façon. Pour les décisions où vous voulez un vrai hasard plutôt que votre intuition, laissez répondre le bouton Oui ou Non, ou découvrez la vraie probabilité du pile ou face.

FAQ

Qu’est-ce que le paradoxe des anniversaires ?

C’est le fait surprenant que, dans un groupe de seulement 23 personnes, il y a 50,7 % de chances qu’au moins deux d’entre elles aient la même date d’anniversaire. Ce n’est pas un vrai paradoxe, seulement un résultat contraire à l’intuition.

Pourquoi 23 personnes suffisent-elles ?

Parce que la question porte sur deux personnes quelconques, pas sur vous. 23 personnes forment 253 paires différentes, et chaque paire est une occasion d’anniversaire commun.

Combien de personnes faut-il pour 99 % de chances d’un anniversaire commun ?

57 personnes donnent environ 99,0 % de chances, et 70 personnes environ 99,9 %. Une coïncidence n’est totalement garantie qu’avec 367 personnes.

Quelle est la probabilité que quelqu’un ait le même anniversaire que moi ?

Bien plus faible. Parmi 22 autres personnes, la probabilité que l’une d’elles ait exactement votre date d’anniversaire n’est que d’environ 6 %. Il faut 253 autres personnes pour atteindre 50 % de chances.

Comment calcule-t-on le paradoxe des anniversaires ?

Multipliez les probabilités que chaque nouvelle personne évite toutes les dates précédentes (364/365, 363/365 et ainsi de suite) pour obtenir la probabilité qu’il n’y ait aucune coïncidence, puis soustrayez-la de 1.