Probabilité pile ou face : est-ce vraiment du 50/50 ?

Tout le monde considère le pile ou face comme la décision la plus équitable qui soit : un côté, l’autre côté, autant de chances pour chacun. Dans presque tous les cas pratiques, c’est exact. Mais des physiciens et des statisticiens ont étudié de près de vraies pièces lancées par de vraies mains, et la réponse est un peu plus intéressante qu’un simple 50/50.

La réponse courte

Une pièce équilibrée, bien lancée, tombe sur face environ une fois sur deux et sur pile environ une fois sur deux. Les meilleures données disponibles montrent toutefois qu’une pièce rattrapée a très légèrement plus de chances, autour de 51 %, de retomber sur la face qui était en haut au départ. Cet écart est bien trop faible pour compter quand on lance une seule fois pour savoir qui commence, mais il est réel et il a été mesuré.

Le biais de 51 % vers la face de départ

En 2007, le statisticien Persi Diaconis, avec Susan Holmes et Richard Montgomery, a publié dans la revue SIAM Review un article intitulé « Dynamical Bias in the Coin Toss ». Ils y modélisent la pièce lancée comme un disque qui tourne en oscillant, et montrent qu’elle passe un peu plus de temps en vol avec sa face de départ vers le haut. Leur modèle prévoyait qu’une pièce rattrapée dans la main retombe sur sa face de départ dans environ 51 % des cas.

En 2023, une équipe dirigée par František Bartoš a vérifié cette prédiction à grande échelle. Au total, 48 personnes ont effectué 350 757 lancers avec des pièces de 46 monnaies différentes, en notant à chaque fois la face de départ et le résultat. La pièce est retombée sur sa face de départ dans 50,8 % des cas, tout près des 51 % prévus par le modèle. Certains lanceurs présentaient un biais plus marqué que d’autres, ce qui va dans le sens d’un effet lié à la façon de lancer, et non à la pièce elle-même.

La même étude n’a trouvé aucune différence notable entre pile et face en tant que tels. L’avantage dépend de la face tournée vers le haut au départ, pas du dessin de la pièce.

Ce que cela change en pratique

• Si personne ne sait quelle face était en haut au départ, le lancer est en pratique du 50/50 pour tout le monde.
• Si la personne qui annonce voit la face de départ, elle peut gagner environ un point de pourcentage en annonçant justement cette face. Sur un seul lancer, c’est presque rien.
• Laisser la pièce tomber par terre et rebondir ajoute plus de hasard que de la rattraper.
• Pour tout ce qui compte vraiment, cachez la face de départ ou utilisez un outil aléatoire.

Lancer n’est pas faire tourner

Faire tourner une pièce sur sa tranche, sur une table, est une tout autre expérience. Une pièce qui tourne ralentit puis tombe selon la répartition de son poids et la forme de sa tranche, si bien que ses petites imperfections comptent beaucoup plus que lors d’un lancer. Si vous voulez un résultat équitable, lancez la pièce au lieu de la faire tourner.

Les séries : la pièce n’a pas de mémoire

Après cinq fois face d’affilée, beaucoup de gens ont l’impression que pile « doit » sortir. Ce n’est pas le cas. Chaque lancer équitable est indépendant, le suivant reste donc à environ 50/50. Cette erreur de raisonnement s’appelle l’erreur du parieur (gambler’s fallacy en anglais). Les séries elles-mêmes sont normales : sur 100 lancers équitables, il est plus probable qu’improbable de voir au moins une série de six résultats identiques ou plus.

L’erreur inverse est tout aussi courante. Quand on écrit à la main une suite « aléatoire », on change de côté trop souvent et on évite les longues séries. C’est pour cela que les suites de pile ou face inventées sont faciles à repérer.

Comment rendre un pile ou face le plus équitable possible

1. Cachez la face de départ à la personne qui annonce.
2. Lancez la pièce haut, avec beaucoup de rotation, plutôt qu’avec une petite oscillation.
3. Laissez-la retomber sur une surface au lieu de la rattraper, ou rattrapez-la sans regarder et plaquez-la sur le dos de la main.
4. Mettez-vous d’accord avant le lancer sur ce que signifient pile et face, pour que personne ne change les règles après coup.

Ou laissez la physique de côté : notre pile ou face en ligne utilise le générateur cryptographique de nombres aléatoires de votre navigateur. Chaque lancer est donc un 50/50 indépendant, sans face de départ à exploiter. Pour les décisions à plus de deux options, le lancer de dés et le générateur de nombre aléatoire fonctionnent de la même manière.

Sources

• Diaconis, P., Holmes, S. and Montgomery, R. (2007). Dynamical Bias in the Coin Toss. SIAM Review, 49(2), 211-235.
• Bartoš, F. et al. (2023). Fair coins tend to land on the same side they started: Evidence from 350,757 flips. arXiv:2310.04153.

Questions fréquentes

Le pile ou face est-il vraiment du 50/50 ?

Presque. Les recherches montrent qu’une pièce rattrapée retombe sur sa face de départ dans environ 51 % des cas : c’est très proche du 50/50, mais pas exactement.

Pile ou face : lequel sort le plus souvent ?

Aucun des deux. L’étude portant sur 350 757 lancers n’a trouvé aucune vraie différence entre pile et face ; le léger biais favorise la face qui était en haut au départ.

Après plusieurs fois face d’affilée, pile a-t-il plus de chances de sortir ?

Non. Chaque lancer équitable est indépendant, les résultats passés ne changent rien au suivant. Croire que pile « doit » sortir, c’est l’erreur du parieur.

Un pile ou face en ligne est-il équitable ?

Un outil de pile ou face qui utilise un générateur cryptographique de nombres aléatoires donne à chaque fois un résultat 50/50 indépendant, sans biais lié à la face de départ.