Probabilità testa o croce: la moneta è davvero 50/50?

Tutti considerano il lancio della moneta la decisione più equa che esista: da una parte un lato, dall’altra l’altro, stesse probabilità per entrambi. Per quasi tutti gli scopi pratici è vero. Ma fisici e statistici hanno studiato da vicino monete vere lanciate da mani vere, e la risposta è un po’ più interessante di un semplice 50/50.

La risposta breve

Una moneta equilibrata, lanciata bene, dà testa circa metà delle volte e croce circa l’altra metà. Le prove migliori indicano però che una moneta ripresa al volo ha una probabilità leggermente più alta, intorno al 51%, di cadere sul lato che era rivolto verso l’alto alla partenza. Questo vantaggio è troppo piccolo per contare quando lanci una volta sola per decidere chi inizia per primo, ma è reale ed è stato misurato.

Il 51% verso il lato di partenza

Nel 2007 lo statistico Persi Diaconis, insieme a Susan Holmes e Richard Montgomery, ha pubblicato sulla rivista SIAM Review l’articolo “Dynamical Bias in the Coin Toss”. Gli autori hanno descritto la moneta lanciata come un disco che ruota e oscilla, dimostrando che durante il volo passa un po’ più di tempo con la faccia di partenza rivolta verso l’alto. Il loro modello prevedeva che una moneta ripresa in mano cada sul lato di partenza circa il 51% delle volte.

Nel 2023 un gruppo guidato da František Bartoš ha messo alla prova la previsione su larga scala. In tutto 48 persone hanno lanciato monete di 46 valute per un totale di 350.757 volte, annotando ogni volta il lato di partenza e il risultato. La moneta è caduta sul lato di partenza nel 50,8% dei casi, molto vicino al 51% previsto dal modello. Alcuni lanciatori mostravano una tendenza più forte di altri, e questo conferma l’idea che l’effetto dipenda dal modo di lanciare e non dalla moneta in sé.

Lo stesso studio non ha trovato differenze significative tra testa e croce in quanto tali. Il vantaggio riguarda il lato che parte verso l’alto, non il disegno della moneta.

Cosa significa in pratica

• Se nessuno sa quale lato era in alto alla partenza, il lancio è di fatto 50/50 per tutti.
• Se chi sceglie vede il lato di partenza, potrebbe guadagnare circa un punto percentuale puntando proprio su quel lato. Su un solo lancio è quasi niente.
• Lasciare che la moneta cada a terra e rimbalzi aggiunge più casualità che riprenderla al volo.
• Per tutto ciò che conta davvero, lancia in modo che il lato di partenza resti nascosto, oppure usa uno strumento casuale.

Lanciare non è far girare

Far girare una moneta di taglio su un tavolo è un esperimento diverso. Una moneta che gira rallenta e cade in base alla distribuzione del suo peso e alla forma del bordo, quindi le sue piccole imperfezioni contano molto più che in un lancio. Se vuoi un risultato equo, lanciala e non farla girare.

Le serie: la moneta non ha memoria

Dopo cinque teste di fila molti sentono che ormai “tocca” a croce. Non è così. Ogni lancio equo è indipendente, quindi anche il prossimo resta intorno al 50/50. Questo errore si chiama fallacia dello scommettitore (in inglese gambler’s fallacy). Le serie in sé sono normali: in 100 lanci equi è più probabile che improbabile trovare almeno una serie di sei o più risultati uguali di fila.

Anche l’errore opposto è comune. Quando le persone scrivono a mano una sequenza “casuale”, cambiano lato troppo spesso ed evitano le serie lunghe: per questo le sequenze inventate si riconoscono facilmente.

Come rendere il lancio della moneta il più equo possibile

1. Nascondi il lato di partenza a chi deve scegliere.
2. Lancia la moneta in alto e con molta rotazione, invece di farla solo oscillare un po’.
3. Lasciala cadere su una superficie invece di riprenderla, oppure riprendila senza guardare e sbattila sul dorso della mano.
4. Decidete prima del lancio cosa significano testa e croce, così nessuno può cambiare i patti dopo.

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Fonti

• Diaconis, P., Holmes, S. and Montgomery, R. (2007). Dynamical Bias in the Coin Toss. SIAM Review, 49(2), 211-235.
• Bartoš, F. et al. (2023). Fair coins tend to land on the same side they started: Evidence from 350,757 flips. arXiv:2310.04153.

Domande frequenti

Testa o croce è davvero 50/50?

Quasi. Le ricerche mostrano che una moneta ripresa al volo cade sul lato di partenza circa il 51% delle volte, quindi è molto vicina al 50/50 ma non esattamente.

Esce più spesso testa o croce?

Nessuna delle due. Lo studio su 350.757 lanci non ha trovato una vera differenza tra testa e croce; la piccola tendenza favorisce il lato che era rivolto verso l’alto alla partenza.

Dopo diverse teste di fila, è più probabile che esca croce?

No. Ogni lancio equo è indipendente, quindi i risultati passati non cambiano il prossimo. Aspettarsi che ormai tocchi a croce è la fallacia dello scommettitore.

Il lancio della moneta online è equo?

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