Geburtstagsparadoxon: Warum schon 23 Personen reichen

Wie viele Menschen müssen in einem Raum sein, bis zwei von ihnen wahrscheinlich am selben Tag Geburtstag haben? Die meisten tippen auf etwa 180, die Hälfte der 365 Tage eines Jahres. Die richtige Antwort lautet: nur 23. Bei 23 Personen liegt die Chance auf einen gemeinsamen Geburtstag bei 50,7 %, also etwas höher als bei einem Münzwurf. Dieses überraschende Ergebnis heißt Geburtstagsparadoxon, oft auch Geburtstagsproblem genannt. Wenn du einmal verstanden hast, wie es funktioniert, wirst du deinem Bauchgefühl beim Thema Zufall nie wieder ganz trauen.

Die Zahlen

Diese Werte gehen von 365 gleich wahrscheinlichen Geburtstagen aus und lassen den 29. Februar außen vor. Es sind exakte Berechnungen, keine Schätzungen.

Bei 70 Personen ist ein gemeinsamer Geburtstag fast sicher. Wirklich garantiert ist er erst bei 367 Personen: Mit dem 29. Februar gibt es 366 mögliche Geburtstage, also muss sich eine Person mehr zwangsläufig mit jemandem einen Geburtstag teilen.

Warum es sich falsch anfühlt

Der Trick: Die Frage lautet nicht „Hat jemand am selben Tag Geburtstag wie ich?“, sondern „Haben irgendwelche zwei Personen am selben Tag Geburtstag?“ Das sind zwei sehr verschiedene Fragen.

• In einem Raum mit 23 Personen gibt es 253 verschiedene Paare (23 × 22 ÷ 2). Jedes dieser Paare ist eine Chance auf einen Treffer.
• Die Chance, dass unter den anderen 22 Personen jemand am selben Tag Geburtstag hat wie du, liegt nur bei etwa 6 %. Damit die Chance auf einen Treffer ausgerechnet mit dir 50 % erreicht, bräuchtest du 253 andere Personen.
• Unser Gehirn zählt Personen, keine Paare. Die Zahl der Paare wächst viel schneller als die Zahl der Personen: 30 Personen ergeben schon 435 Paare.

So rechnest du es aus (der einfache Weg)

Die Chance auf „mindestens einen Treffer“ direkt auszurechnen, ist mühsam. Viel einfacher ist es, die Chance zu berechnen, dass niemand übereinstimmt, und sie dann von 100 % abzuziehen.

1. Die erste Person kann an jedem beliebigen Tag Geburtstag haben.
2. Die zweite Person muss diesen einen Tag vermeiden: 364 von 365.
3. Die dritte muss zwei Tage vermeiden: 363 von 365.
4. So geht es weiter, und alle Brüche werden miteinander multipliziert. Für 23 Personen ergibt dieses Produkt etwa 0,493. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 49,3 % sind also alle Geburtstage verschieden.
5. Von 1 abziehen: 1 − 0,493 = 0,507. Das ist eine Chance von 50,7 %, dass mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben.

Dieser Trick, „das Gegenteil auszurechnen“, ist eine der nützlichsten Ideen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Er funktioniert genauso gut bei Würfelfragen, etwa bei der Chance, in vier Würfen mindestens eine Sechs zu werfen: 1 − (5/6)⁴, also etwa 52 %. Mehr dazu unter Würfel-Wahrscheinlichkeit.

Verändern echte Geburtstage das Ergebnis?

Im echten Leben sind Geburtstage nicht perfekt gleichmäßig verteilt: In vielen Ländern kommen in manchen Monaten mehr Babys zur Welt als in anderen, und an Feiertagen weniger. Ungleich verteilte Geburtstage machen einen Treffer aber nur wahrscheinlicher, nie unwahrscheinlicher. Der Wert für 23 Personen ist also, wenn überhaupt, leicht unterschätzt.

Probier es aus: ein Experiment für die Klasse

1. Bitte alle, ihren Geburtstag (nur Tag und Monat) auf einen Zettel zu schreiben.
2. Lass die Klasse vor dem Nachsehen abstimmen: Glauben sie, dass zwei am selben Tag Geburtstag haben?
3. Lies die Daten laut vor oder sortiere sie an der Tafel und such nach einem Treffer.
4. Vergleiche das Ergebnis mit der Tabelle oben für deine Klassengröße.

Bei einer typischen Klassengröße von 25 bis 30 liegt die Chance auf einen Treffer bei 57 % bis 71 %, es klappt also öfter als nicht. Ist deine Gruppe klein, simuliere stattdessen einen großen Raum: Zieh mit dem Zufallszahl-Generator 23 Zahlen von 1 bis 365, wobei Ohne Wiederholung nicht angehakt ist, eine für jede gedachte Person, und probier es ein paar Mal. Ungefähr in der Hälfte der Fälle taucht eine Zahl doppelt auf.

Wo das Geburtstagsparadoxon auftaucht

• Fußball: Bei einem Spiel stehen 23 Personen auf dem Platz (22 Spieler und der Schiedsrichter). Man kann also erwarten, dass in etwa der Hälfte aller Spiele zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben.
• Computersicherheit: Der „Geburtstagsangriff“ nutzt dieselbe Mathematik, um zwei Eingaben zu finden, die denselben digitalen Fingerabdruck erzeugen, und zwar viel schneller, als man erwarten würde.
• Zufälle: Viele „Was für ein Zufall!“-Momente, etwa wenn du im Urlaub jemanden aus deiner Heimatstadt triffst, wirken unwahrscheinlich, weil wir an einen bestimmten Treffer denken statt an alle möglichen.

Es ist dieselbe Lektion wie bei der Frage, warum Menschen schlecht darin sind, zufällig zu sein: Unser Gefühl dafür, was wahrscheinlich ist, ist ein schlechter Ratgeber. Das Monty-Hall-Problem führt Menschen auf dieselbe Weise in die Irre. Wenn du bei Entscheidungen echten Zufall statt Bauchgefühl willst, lass den Ja oder Nein Knopf antworten oder lies nach, wie die echte Münzwurf-Wahrscheinlichkeit aussieht.

FAQ

Was ist das Geburtstagsparadoxon?

Es ist die überraschende Tatsache, dass in einer Gruppe von nur 23 Personen eine Chance von 50,7 % besteht, dass mindestens zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag haben. Ein echtes Paradoxon ist es nicht, nur ein Ergebnis, das der Intuition widerspricht.

Warum reichen schon 23 Personen?

Weil es um zwei beliebige Personen geht, nicht um dich. 23 Personen bilden 253 verschiedene Paare, und jedes Paar ist eine Chance auf einen gemeinsamen Geburtstag.

Wie viele Personen braucht man für eine Chance von 99 % auf einen gemeinsamen Geburtstag?

57 Personen ergeben eine Chance von etwa 99,0 %, 70 Personen etwa 99,9 %. Ganz sicher ist ein Treffer erst bei 367 Personen.

Wie groß ist die Chance, dass jemand am selben Tag Geburtstag hat wie ich?

Viel kleiner. Unter 22 anderen Personen liegt die Chance, dass eine davon genau deinen Geburtstag hat, nur bei etwa 6 %. Für eine Chance von 50 % brauchst du 253 andere Personen.

Wie berechnet man das Geburtstagsparadoxon?

Multipliziere die Chancen, dass jede neue Person allen früheren Geburtstagen ausweicht (364/365, 363/365 und so weiter). Das ergibt die Chance auf keinen Treffer, die du dann von 1 abziehst.