Paradoxo do aniversário: por que 23 pessoas bastam
Quantas pessoas precisam estar numa sala para que duas delas provavelmente façam aniversário no mesmo dia? A maioria chuta algo em torno de 180, metade dos 365 dias do ano. A resposta certa é só 23. Com 23 pessoas, a chance de um aniversário em comum é de 50,7%, um pouco melhor que um cara ou coroa. Esse resultado surpreendente se chama paradoxo do aniversário, e depois que você entende como ele funciona, nunca mais vai confiar tanto na sua intuição sobre o acaso.
Os números
Estes valores consideram 365 aniversários igualmente prováveis e ignoram o 29 de fevereiro. São cálculos exatos, não estimativas.
| Pessoas na sala | Chance de um aniversário em comum |
|---|---|
| 5 | 2,7% |
| 10 | 11,7% |
| 20 | 41,1% |
| 23 | 50,7% |
| 30 | 70,6% |
| 40 | 89,1% |
| 50 | 97,0% |
| 57 | 99,0% |
| 70 | 99,9% |
| 367 | 100% (garantido) |
Com 70 pessoas, um aniversário em comum é quase certo. Só com 367 pessoas ele é realmente garantido: contando o 29 de fevereiro, existem 366 aniversários possíveis, então uma pessoa a mais obrigatoriamente vai dividir a data com alguém.
Por que parece errado
O truque é que a pergunta não é “alguém faz aniversário no mesmo dia que eu?”, e sim “quaisquer duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia?”. São perguntas muito diferentes.
- Numa sala com 23 pessoas, existem 253 pares diferentes (23 × 22 ÷ 2). Cada um desses pares é uma chance de coincidência.
- A chance de alguém entre as outras 22 pessoas fazer aniversário no mesmo dia que você é de só cerca de 6%. Seriam necessárias 253 outras pessoas para chegar a 50% de chance de alguém coincidir justamente com você.
- Nosso cérebro conta pessoas, não pares. O número de pares cresce muito mais rápido que o número de pessoas: 30 pessoas já formam 435 pares.
Como calcular (do jeito fácil)
Calcular diretamente a chance de “pelo menos uma coincidência” é trabalhoso. É bem mais fácil calcular a chance de ninguém coincidir e depois subtrair isso de 100%.
- A primeira pessoa pode fazer aniversário em qualquer dia.
- A segunda precisa evitar esse dia: 364 de 365.
- A terceira precisa evitar dois dias: 363 de 365.
- Continue assim e multiplique todas as frações. Para 23 pessoas, o produto dá cerca de 0,493, então há 49,3% de chance de todos os aniversários serem diferentes.
- Subtraia de 1: 1 − 0,493 = 0,507, ou seja, 50,7% de chance de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia.
Esse truque de “calcular o contrário” é uma das ideias mais úteis da probabilidade. Funciona igualmente bem com dados, como na chance de tirar pelo menos um seis em quatro lançamentos: 1 − (5/6)4, cerca de 52%. Saiba mais em probabilidade dos dados.
Aniversários reais mudam a resposta?
Na vida real, os aniversários não se distribuem de forma perfeitamente uniforme: em muitos países nascem mais bebês em alguns meses do que em outros, e menos nos feriados. Aniversários desiguais só tornam uma coincidência mais provável, nunca menos. Ou seja, o valor para 23 pessoas, se erra, erra um pouco para baixo.
Experimente: um teste em sala de aula
- Peça para todo mundo escrever o próprio aniversário (só dia e mês) num papelzinho.
- Antes de conferir, faça a turma votar: será que duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia?
- Leia as datas em voz alta, ou organize-as no quadro, e procure uma coincidência.
- Compare o resultado com a tabela acima para o tamanho da sua turma.
Numa turma típica de 25 a 30 alunos, a chance de coincidência fica entre 57% e 71%, então funciona na maioria das vezes. Se o seu grupo for pequeno, simule uma sala grande: use o gerador de números aleatórios para sortear 23 números de 1 a 365 com Sem repetir desmarcado, um para cada pessoa imaginária, e tente algumas vezes. Você vai ver uma repetição mais ou menos na metade das vezes.
Onde o paradoxo do aniversário aparece
- Futebol: uma partida tem 23 pessoas em campo (22 jogadores e o árbitro), então dá para esperar que duas delas façam aniversário no mesmo dia em mais ou menos metade das partidas.
- Segurança da informação: o “ataque do aniversário” usa a mesma matemática para encontrar duas entradas que geram a mesma “impressão digital” de dados, muito mais rápido do que se imagina.
- Coincidências: muitos momentos de “qual era a chance?”, como encontrar alguém da sua cidade nas férias, parecem improváveis porque pensamos em uma coincidência específica em vez de todas as possíveis.
É a mesma lição que explica por que somos ruins em ser aleatórios: nossa noção do que é provável é um mau guia. O problema de Monty Hall engana as pessoas do mesmo jeito. Para decisões em que você quer acaso de verdade, e não intuição, deixe o Botão Sim ou Não responder, ou leia sobre a probabilidade real do cara ou coroa.
FAQ
O que é o paradoxo do aniversário?
É o fato surpreendente de que, num grupo de apenas 23 pessoas, há 50,7% de chance de pelo menos duas delas fazerem aniversário no mesmo dia. Não é um paradoxo de verdade, só um resultado que vai contra a intuição.
Por que bastam só 23 pessoas?
Porque a pergunta é sobre quaisquer duas pessoas, não sobre você. 23 pessoas formam 253 pares diferentes, e cada par é uma chance de aniversário em comum.
Quantas pessoas são necessárias para 99% de chance de um aniversário em comum?
57 pessoas dão cerca de 99,0% de chance, e 70 pessoas, cerca de 99,9%. Uma coincidência só é totalmente garantida com 367 pessoas.
Qual é a chance de alguém fazer aniversário no mesmo dia que eu?
Bem menor. Entre 22 outras pessoas, a chance de uma delas ter exatamente o seu aniversário é de só cerca de 6%. São necessárias 253 outras pessoas para chegar a 50% de chance.
Como se calcula o paradoxo do aniversário?
Multiplique as chances de cada nova pessoa evitar todos os aniversários anteriores (364/365, 363/365 e assim por diante) para obter a chance de nenhuma coincidência, depois subtraia isso de 1.