Problema di Monty Hall: spiegazione e perché conviene cambiare
Sei a un quiz televisivo davanti a tre porte. Dietro una c’è un’auto, dietro le altre due ci sono delle capre. Scegli una porta. Il conduttore, che sa dov’è l’auto, apre una delle altre porte e ti mostra una capra. Poi ti chiede: vuoi tenere la tua porta o passare all’altra rimasta chiusa? È il problema di Monty Hall, e la maggior parte delle persone sbaglia. Ecco la risposta, perché funziona e come verificarla da solo.
La risposta: cambia
Cambiando vinci l’auto 2 volte su 3. Restando vinci solo 1 volta su 3. Sembra che dovrebbe essere 50/50, visto che restano due porte, ma non è così.
Perché cambiare conviene
La tua prima scelta ha 1 probabilità su 3 di essere l’auto, e niente di quello che fa il conduttore la cambia. Lui apre sempre una porta con la capra, qualunque porta tu abbia scelto, quindi la sua mossa non ti dice niente di nuovo sulla tua porta. Le altre 2 probabilità su 3 ora stanno sull’unica porta che ha lasciato chiusa.
Il modo più chiaro per vederlo è elencare tutti i casi. Mettiamo che tu scelga la porta 1:
| L’auto è dietro | Restare vince? | Cambiare vince? |
|---|---|---|
| Porta 1 (la tua scelta) | Sì | No |
| Porta 2 | No | Sì (il conduttore ha aperto la porta 3) |
| Porta 3 | No | Sì (il conduttore ha aperto la porta 2) |
Cambiare vince in due casi su tre. In altre parole: cambiare perde solo se all’inizio avevi scelto l’auto, e questo succede appena 1 volta su 3.
Immagina 100 porte
Se il 2 su 3 ti sembra ancora sbagliato, ingrandisci il gioco. Ci sono 100 porte e una sola auto. Ne scegli una. Il conduttore, che sa dov’è l’auto, apre altre 98 porte, tutte con capre, e ne lascia una chiusa. Terresti la tua porta, scelta a caso tra 100, o prenderesti l’unica che lui ha evitato con tanta cura? Qui quasi tutti cambiano, e fanno bene: cambiare vince 99 volte su 100.
La tabella mostra come cambiano le probabilità con più porte. Mostra anche che l’aiuto del conduttore conta: se apre una sola porta, cambiare batte ancora il restare, ma di poco.
| Porte | Apre tutte tranne una | Ne apre una sola |
|---|---|---|
| 3 | 2 su 3 (67%) | 2 su 3 (67%) |
| 4 | 3 su 4 (75%) | 3 su 8 (37,5%, restare: 25%) |
| 10 | 9 su 10 (90%) | 9 su 80 (11,25%, restare: 10%) |
| 100 | 99 su 100 (99%) | circa 1,02% (restare: 1%) |
Provalo tu stesso
Non devi crederci sulla parola. Abbiamo simulato al computer un milione di partite: restare ha vinto il 33,4% delle volte e cambiare il 66,6%. Puoi provarlo a casa con tre bicchieri e una moneta, oppure con il nostro generatore di numeri casuali:
- Estrai un numero da 1 a 3 per l’auto e un altro per la tua scelta.
- Il conduttore apre una porta con la capra che non hai scelto.
- Annota se avrebbe vinto restare o cambiare.
- Ripeti 30 volte. Cambiare dovrebbe vincere circa 20 volte.
Attenzione: il conduttore deve sapere
La risposta del 2 su 3 dipende dalle regole. Funziona solo perché il conduttore apre sempre una porta, evita sempre l’auto e offre sempre il cambio. Se aprisse una porta a caso e per puro caso uscisse una capra, le probabilità sarebbero davvero 50/50. E un conduttore che offre il cambio solo quando hai scelto l’auto sta cercando di ingannarti. La nostra risposta presuppone le regole classiche.
Da dove viene il rompicapo
Il rompicapo prende il nome da Monty Hall, conduttore del quiz televisivo americano Let’s Make a Deal, anche se il programma non ha mai usato esattamente questo gioco. Lo statistico Steve Selvin lo descrisse nel 1975 in alcune lettere alla rivista The American Statistician. Divenne famoso nel 1990, quando Marilyn vos Savant rispose al quesito nella sua rubrica sulla rivista Parade. Disse di cambiare, e migliaia di lettori, molti dei quali laureati in matematica, le scrissero che si sbagliava. Aveva ragione lei.
È una buona lezione per prendere decisioni: il nostro istinto non è fatto per la probabilità. Succede lo stesso con il paradosso del compleanno e con quanto siamo negati a essere casuali. Per un caso più semplice, leggi la nostra guida sulla probabilità di testa o croce.
Domande frequenti
Conviene cambiare porta nel problema di Monty Hall?
Sì. Cambiare vince 2 volte su 3 e restare 1 volta su 3, a patto che il conduttore apra sempre una porta con la capra e offra sempre il cambio.
Perché il problema di Monty Hall non è 50/50?
Perché il conduttore sa dov’è l’auto e non apre mai quella porta. La tua prima scelta mantiene la sua probabilità di 1 su 3, e i restanti 2 su 3 passano all’altra porta chiusa.
Quando il problema di Monty Hall è 50/50?
Se il conduttore apre una porta a caso e per puro caso esce una capra, le due porte chiuse sono davvero al 50/50. La risposta classica vale solo quando il conduttore sa dov’è l’auto e la evita sempre.
Chi ha risolto il problema di Monty Hall?
Steve Selvin pubblicò il rompicapo e la sua soluzione nel 1975. Marilyn vos Savant lo rese famoso nel 1990 con la sua rubrica su Parade, che diceva di cambiare.
Come si dimostra la risposta del problema di Monty Hall?
Elenca i tre posti in cui può trovarsi l’auto, oppure gioca molte volte con dei bicchieri o con un generatore di numeri casuali. Cambiare vince circa due terzi delle partite.