Problema de Monty Hall explicado: por qué conviene cambiar
Estás en un concurso de televisión frente a tres puertas. Detrás de una hay un coche y detrás de las otras dos, cabras. Eliges una puerta. El presentador, que sabe dónde está el coche, abre una de las otras y te enseña una cabra. Luego te pregunta: ¿te quedas con tu puerta o cambias a la otra que sigue cerrada? Este es el problema de Monty Hall, y la mayoría de la gente falla. Aquí tienes la respuesta, por qué funciona y cómo comprobarlo tú mismo.
La respuesta: cambia
Si cambias, ganas el coche 2 de cada 3 veces. Si te quedas, solo 1 de cada 3. Parece que debería ser 50/50, porque quedan dos puertas, pero no lo es.
Por qué gana cambiar
Tu primera elección tiene 1 posibilidad entre 3 de ser el coche, y nada de lo que haga el presentador cambia eso. Él siempre abre una puerta con cabra, elijas la que elijas, así que su movimiento no te dice nada nuevo sobre tu puerta. Las otras 2 posibilidades de 3 se concentran ahora en la única puerta que ha dejado cerrada.
La forma más clara de verlo es repasar todos los casos. Supongamos que eliges la puerta 1:
| Coche detrás de | ¿Gana quedarse? | ¿Gana cambiar? |
|---|---|---|
| Puerta 1 (la tuya) | Sí | No |
| Puerta 2 | No | Sí (abrió la puerta 3) |
| Puerta 3 | No | Sí (abrió la puerta 2) |
Cambiar gana en dos de los tres casos. Dicho de otro modo: cambiar solo pierde si al principio elegiste el coche, y eso pasa solo 1 vez de cada 3.
Imagina 100 puertas
Si lo de 2 de cada 3 todavía te parece raro, haz el juego más grande. Hay 100 puertas y un solo coche. Eliges una. El presentador, que sabe dónde está el coche, abre otras 98 puertas, todas con cabra, y deja una cerrada. ¿Te quedarías con tu puerta, elegida al azar entre 100, o te llevarías la única que él se ha saltado con tanto cuidado? Aquí casi todo el mundo cambia, y con razón: cambiar gana 99 veces de cada 100.
La tabla muestra cómo cambian las probabilidades con más puertas. También deja ver que la ayuda del presentador importa: si abre una sola puerta, cambiar sigue siendo mejor que quedarse, pero solo un poco.
| Puertas | Abre todas menos una | Abre solo una |
|---|---|---|
| 3 | 2 de 3 (67 %) | 2 de 3 (67 %) |
| 4 | 3 de 4 (75 %) | 3 de 8 (37,5 %, quedarse: 25 %) |
| 10 | 9 de 10 (90 %) | 9 de 80 (11,25 %, quedarse: 10 %) |
| 100 | 99 de 100 (99 %) | cerca del 1,02 % (quedarse: 1 %) |
Compruébalo tú mismo
No tienes por qué creernos sin más. Hicimos una simulación por ordenador de un millón de partidas: quedarse ganó el 33,4 % de las veces y cambiar, el 66,6 %. Puedes probarlo en casa con tres vasos y una moneda, o con nuestro generador de números aleatorios:
- Saca un número del 1 al 3 para el coche y otro para tu elección.
- El presentador abre una puerta con cabra que no hayas elegido.
- Apunta si habría ganado quedarse o cambiar.
- Repítelo 30 veces. Cambiar debería ganar unas 20.
La trampa: el presentador tiene que saberlo
La respuesta de 2 de cada 3 depende de las reglas. Solo funciona porque el presentador siempre abre una puerta, siempre evita el coche y siempre ofrece el cambio. Si abriera una puerta al azar y por casualidad apareciera una cabra, las probabilidades sí serían 50/50. Y un presentador que solo ofrece cambiar cuando has elegido el coche está intentando engañarte. Nuestra respuesta da por hechas las reglas clásicas.
De dónde viene el acertijo
El acertijo lleva el nombre de Monty Hall, presentador del concurso de la televisión estadounidense Let’s Make a Deal, aunque el programa nunca usó exactamente este juego. El estadístico Steve Selvin lo describió en 1975 en unas cartas a la revista The American Statistician. Se hizo famoso en 1990, cuando Marilyn vos Savant lo respondió en su columna de la revista Parade. Dijo que había que cambiar, y miles de lectores, muchos de ellos con títulos en matemáticas, le escribieron para decirle que se equivocaba. La razón la tenía ella.
Es una buena lección para tomar decisiones: nuestra intuición no está hecha para la probabilidad. Lo mismo pasa con la paradoja del cumpleaños y con lo mal que se nos da ser aleatorios. Para un caso más sencillo, mira nuestra guía sobre la probabilidad de cara o cruz.
Preguntas frecuentes
¿Hay que cambiar de puerta en el problema de Monty Hall?
Sí. Cambiar gana 2 de cada 3 veces y quedarse, 1 de cada 3, siempre que el presentador abra siempre una puerta con cabra y ofrezca siempre el cambio.
¿Por qué el problema de Monty Hall no es 50/50?
Porque el presentador sabe dónde está el coche y nunca abre esa puerta. Tu primera elección conserva su probabilidad de 1 entre 3, y los 2 de 3 restantes pasan a la otra puerta cerrada.
¿Cuándo es 50/50 el problema de Monty Hall?
Si el presentador abre una puerta al azar y por casualidad sale una cabra, las dos puertas cerradas sí están al 50/50. La respuesta clásica solo vale cuando el presentador sabe dónde está el coche y siempre lo evita.
¿Quién resolvió el problema de Monty Hall?
Steve Selvin publicó el acertijo y su solución en 1975. Marilyn vos Savant lo hizo famoso en 1990 con su columna en Parade, en la que decía que había que cambiar.
¿Cómo puedo demostrar la respuesta del problema de Monty Hall?
Repasa los tres sitios donde puede estar el coche, o juega muchas veces con vasos o con un generador de números aleatorios. Cambiar gana más o menos dos tercios de las partidas.