Problema de Monty Hall explicado: por que vale a pena trocar
Você está num programa de auditório, diante de três portas. Atrás de uma há um carro; atrás das outras duas, cabras. Você escolhe uma porta. O apresentador, que sabe onde está o carro, abre uma das outras portas e mostra uma cabra. Então ele pergunta: você fica com a sua porta ou troca pela outra que continua fechada? Esse é o problema de Monty Hall, e a maioria das pessoas erra. Veja a resposta, por que ela funciona e como testar você mesmo.
A resposta: troque
Trocar ganha o carro 2 vezes em cada 3. Ficar ganha só 1 vez em cada 3. Parece que deveria ser 50/50, já que sobram duas portas, mas não é.
Por que trocar ganha
A sua primeira escolha tem 1 chance em 3 de ser o carro, e nada do que o apresentador faz muda isso. Ele sempre abre uma porta com cabra, seja qual for a sua escolha, então o movimento dele não diz nada de novo sobre a sua porta. As outras 2 chances em 3 ficam agora na única porta que ele deixou fechada.
O jeito mais claro de ver isso é listar todos os casos. Digamos que você escolha a porta 1:
| O carro está na | Ficar ganha? | Trocar ganha? |
|---|---|---|
| Porta 1 (sua escolha) | Sim | Não |
| Porta 2 | Não | Sim (a porta 3 foi aberta) |
| Porta 3 | Não | Sim (a porta 2 foi aberta) |
Trocar ganha em dois dos três casos. Dito de outra forma: trocar só perde se você escolheu o carro logo de cara, e isso acontece apenas 1 vez em cada 3.
Imagine 100 portas
Se os 2 em 3 ainda parecem errados, aumente o jogo. São 100 portas e um carro. Você escolhe uma. O apresentador, que sabe onde está o carro, abre outras 98 portas, todas com cabras, e deixa uma fechada. Você ficaria com a sua porta, escolhida ao acaso entre 100, ou pegaria a única porta que ele pulou com tanto cuidado? Aqui quase todo mundo troca, e com razão: trocar ganha 99 vezes em cada 100.
A tabela mostra como as chances mudam com mais portas. Ela também mostra que a ajuda do apresentador faz diferença: se ele abre só uma porta, trocar ainda é melhor do que ficar, mas só um pouco.
| Portas | Abre todas menos uma | Abre só uma |
|---|---|---|
| 3 | 2 em 3 (67%) | 2 em 3 (67%) |
| 4 | 3 em 4 (75%) | 3 em 8 (37,5%, ficar: 25%) |
| 10 | 9 em 10 (90%) | 9 em 80 (11,25%, ficar: 10%) |
| 100 | 99 em 100 (99%) | cerca de 1,02% (ficar: 1%) |
Teste você mesmo
Você não precisa acreditar só na nossa palavra. Fizemos uma simulação de um milhão de partidas no computador: ficar ganhou em 33,4% das vezes e trocar, em 66,6%. Dá para testar em casa com três copos e uma moeda, ou com o nosso gerador de números aleatórios:
- Sorteie um número de 1 a 3 para o carro e outro para a sua escolha.
- O apresentador abre uma porta com cabra que você não escolheu.
- Anote se ficar ou trocar teria ganhado.
- Repita 30 vezes. Trocar deve ganhar umas 20.
O detalhe: o apresentador precisa saber
A resposta de 2 em 3 depende das regras. Ela só funciona porque o apresentador sempre abre uma porta, sempre evita o carro e sempre oferece a troca. Se ele abrisse uma porta aleatoriamente e por acaso aparecesse uma cabra, as chances seriam mesmo 50/50. E um apresentador que só oferece a troca quando você escolheu o carro está tentando enganar você. A nossa resposta parte das regras clássicas.
De onde vem o enigma
O enigma leva o nome de Monty Hall, apresentador do programa de TV americano Let’s Make a Deal, embora o programa nunca tenha usado exatamente esse jogo. O estatístico Steve Selvin o descreveu em cartas à revista The American Statistician em 1975. Ele ficou famoso em 1990, quando Marilyn vos Savant respondeu à questão em sua coluna na revista Parade. Ela disse para trocar, e milhares de leitores, muitos deles formados em matemática, escreveram para dizer que ela estava errada. Ela estava certa.
É uma boa lição para tomar decisões: a nossa intuição não foi feita para probabilidade. O mesmo acontece com o paradoxo do aniversário e com o quanto somos ruins em ser aleatórios. Para um caso mais simples, veja o nosso guia sobre a probabilidade de cara ou coroa.
Perguntas frequentes
Vale a pena trocar de porta no problema de Monty Hall?
Sim. Trocar ganha 2 vezes em cada 3 e ficar ganha 1 vez em cada 3, desde que o apresentador sempre abra uma porta com cabra e sempre ofereça a troca.
Por que o problema de Monty Hall não é 50/50?
Porque o apresentador sabe onde está o carro e nunca abre essa porta. A sua primeira escolha mantém a chance de 1 em 3, e os 2 em 3 restantes passam para a outra porta fechada.
Quando o problema de Monty Hall é 50/50?
Se o apresentador abre uma porta aleatoriamente e por acaso aparece uma cabra, as duas portas fechadas ficam mesmo em 50/50. A resposta clássica só vale quando o apresentador sabe onde está o carro e sempre o evita.
Quem resolveu o problema de Monty Hall?
Steve Selvin publicou o enigma e a solução em 1975. Marilyn vos Savant o tornou famoso em 1990 com a sua coluna na Parade, que dizia para trocar.
Como provar a resposta do problema de Monty Hall?
Liste os três lugares onde o carro pode estar, ou jogue muitas vezes com copos ou com um gerador de números aleatórios. Trocar ganha cerca de dois terços das partidas.