Problème de Monty Hall : explication et pourquoi changer de porte
Vous participez à un jeu télévisé, face à trois portes. Derrière l’une d’elles se trouve une voiture, derrière les deux autres, des chèvres. Vous choisissez une porte. Le présentateur, qui sait où est la voiture, ouvre l’une des deux autres et vous montre une chèvre. Puis il vous demande : gardez-vous votre porte, ou passez-vous à l’autre porte encore fermée ? C’est le problème de Monty Hall, et la plupart des gens se trompent. Voici la réponse, pourquoi elle marche et comment la vérifier vous-même.
La réponse : changez
En changeant, vous gagnez la voiture 2 fois sur 3. En gardant votre porte, seulement 1 fois sur 3. On a l’impression que ce devrait être du 50/50, puisqu’il reste deux portes, mais ce n’est pas le cas.
Pourquoi changer est gagnant
Votre premier choix a 1 chance sur 3 d’être la voiture, et rien de ce que fait le présentateur n’y change quoi que ce soit. Il ouvre toujours une porte avec une chèvre, quel que soit votre choix, donc son geste ne vous apprend rien de nouveau sur votre porte. Les 2 chances sur 3 restantes se reportent désormais sur la seule porte qu’il a laissée fermée.
Le plus clair est de passer en revue tous les cas. Disons que vous choisissez la porte 1 :
| Voiture derrière | Gagné si on garde ? | Gagné si on change ? |
|---|---|---|
| Porte 1 (votre choix) | Oui | Non |
| Porte 2 | Non | Oui (porte 3 ouverte) |
| Porte 3 | Non | Oui (porte 2 ouverte) |
Changer gagne dans deux cas sur trois. Autrement dit : changer ne fait perdre que si vous aviez choisi la voiture dès le départ, et cela n’arrive que 1 fois sur 3.
Imaginez 100 portes
Si ce 2 sur 3 vous semble toujours faux, agrandissez le jeu. Il y a 100 portes et une seule voiture. Vous en choisissez une. Le présentateur, qui sait où est la voiture, ouvre 98 autres portes, toutes avec des chèvres, et en laisse une fermée. Garderiez-vous votre porte, choisie au hasard parmi 100, ou prendriez-vous la seule porte qu’il a soigneusement évitée ? Là, presque tout le monde change, et avec raison : changer gagne 99 fois sur 100.
Le tableau montre comment les chances évoluent avec plus de portes. Il montre aussi que l’aide du présentateur compte : s’il n’ouvre qu’une seule porte, changer reste meilleur que garder, mais de peu.
| Portes | Toutes ouvertes sauf une | Une seule ouverte |
|---|---|---|
| 3 | 2 sur 3 (67 %) | 2 sur 3 (67 %) |
| 4 | 3 sur 4 (75 %) | 3 sur 8 (37,5 %, garder : 25 %) |
| 10 | 9 sur 10 (90 %) | 9 sur 80 (11,25 %, garder : 10 %) |
| 100 | 99 sur 100 (99 %) | environ 1,02 % (garder : 1 %) |
Vérifiez par vous-même
Inutile de nous croire sur parole. Nous avons simulé un million de parties sur ordinateur : garder sa porte a gagné 33,4 % du temps, changer 66,6 %. Vous pouvez essayer chez vous avec trois gobelets et une pièce, ou avec notre générateur de nombres aléatoires :
- Tirez un nombre de 1 à 3 pour la voiture, et un autre pour votre choix.
- Le présentateur ouvre une porte avec une chèvre que vous n’avez pas choisie.
- Notez si c’est garder ou changer qui aurait gagné.
- Recommencez 30 fois. Changer devrait gagner environ 20 fois.
Le piège : le présentateur doit savoir
La réponse 2 sur 3 dépend des règles. Elle ne marche que parce que le présentateur ouvre toujours une porte, évite toujours la voiture et propose toujours le changement. S’il ouvrait une porte au hasard et qu’une chèvre apparaissait par chance, les chances seraient vraiment de 50/50. Et un présentateur qui ne propose de changer que lorsque vous avez choisi la voiture cherche à vous piéger. Notre réponse suppose les règles classiques.
D’où vient cette énigme
L’énigme porte le nom de Monty Hall, animateur du jeu télévisé américain Let’s Make a Deal, même si l’émission n’a jamais utilisé exactement ce jeu. Le statisticien Steve Selvin l’a décrite en 1975 dans des lettres à la revue The American Statistician. Elle est devenue célèbre en 1990, quand Marilyn vos Savant y a répondu dans sa chronique du magazine Parade. Elle a dit de changer, et des milliers de lecteurs, dont beaucoup de diplômés en mathématiques, lui ont écrit pour dire qu’elle avait tort. Elle avait raison.
C’est une bonne leçon pour prendre une décision : notre intuition n’est pas faite pour les probabilités. On retrouve la même chose avec le paradoxe des anniversaires et avec notre difficulté à être aléatoires. Pour un cas plus simple, lisez notre guide sur la probabilité à pile ou face.
Questions fréquentes
Faut-il changer de porte dans le problème de Monty Hall ?
Oui. Changer gagne 2 fois sur 3 et garder 1 fois sur 3, à condition que le présentateur ouvre toujours une porte avec une chèvre et propose toujours le changement.
Pourquoi le problème de Monty Hall n’est-il pas du 50/50 ?
Parce que le présentateur sait où est la voiture et n’ouvre jamais sa porte. Votre premier choix garde sa chance de 1 sur 3, et les 2 sur 3 restants passent sur l’autre porte fermée.
Quand le problème de Monty Hall est-il du 50/50 ?
Si le présentateur ouvre une porte au hasard et qu’une chèvre apparaît par chance, les deux portes fermées sont vraiment à 50/50. La réponse classique ne tient que si le présentateur sait où est la voiture et l’évite toujours.
Qui a résolu le problème de Monty Hall ?
Steve Selvin a publié l’énigme et sa solution en 1975. Marilyn vos Savant l’a rendue célèbre en 1990 avec sa chronique dans Parade, qui conseillait de changer.
Comment prouver la réponse au problème de Monty Hall ?
Listez les trois endroits où peut se trouver la voiture, ou jouez de nombreuses fois avec des gobelets ou un générateur de nombres aléatoires. Changer gagne environ deux tiers des parties.