Парадокс Монти Холла простыми словами: почему надо менять дверь
Вы участвуете в телеигре, и перед вами три двери. За одной стоит автомобиль, за двумя другими козы. Вы выбираете дверь. Ведущий, который знает, где автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей и показывает козу. Потом спрашивает: остаётесь при своей двери или меняете её на другую закрытую? Это парадокс Монти Холла (его ещё называют задачей Монти Холла), и большинство людей отвечают неправильно. Ниже ответ, объяснение и способ проверить всё самому.
Ответ: меняйте дверь
Если поменять дверь, автомобиль достанется вам в 2 случаях из 3. Если остаться, только в 1 случае из 3. Кажется, что шансы должны быть 50 на 50, ведь дверей осталось две, но это не так.
Почему выгоднее менять
Ваш первый выбор угадывает автомобиль с вероятностью 1 из 3, и ничто из того, что делает ведущий, этого не меняет. Он всегда открывает дверь с козой, какую бы дверь вы ни выбрали, поэтому его ход ничего нового не говорит о вашей двери. Оставшиеся 2 шанса из 3 теперь приходятся на единственную дверь, которую он оставил закрытой.
Нагляднее всего перебрать все варианты. Допустим, вы выбрали дверь 1:
| Где машина | Если остаться | Если сменить |
|---|---|---|
| Дверь 1 (ваш выбор) | Выигрыш | Проигрыш |
| Дверь 2 | Проигрыш | Выигрыш (открыта дверь 3) |
| Дверь 3 | Проигрыш | Выигрыш (открыта дверь 2) |
Смена выигрывает в двух случаях из трёх. Иначе говоря, смена проигрывает, только если вы с самого начала выбрали автомобиль, а это бывает лишь в 1 случае из 3.
Представьте 100 дверей
Если 2 из 3 всё ещё кажутся ошибкой, увеличьте игру. Дверей 100, автомобиль один. Вы выбираете одну. Ведущий, который знает, где автомобиль, открывает 98 других дверей, за всеми козы, и оставляет одну закрытой. Вы оставите свою дверь, выбранную наугад из 100, или возьмёте ту единственную, которую он так старательно обошёл? Здесь меняют почти все, и правильно делают: смена выигрывает в 99 случаях из 100.
Таблица показывает, как меняются шансы при большем числе дверей. Видно и то, что помощь ведущего важна: если он открывает только одну дверь, менять всё равно выгоднее, чем оставаться, но совсем ненамного.
| Дверей | Открыты все, кроме одной | Открыта одна |
|---|---|---|
| 3 | 2 из 3 (67 %) | 2 из 3 (67 %) |
| 4 | 3 из 4 (75 %) | 3 из 8 (37,5 %, если остаться: 25 %) |
| 10 | 9 из 10 (90 %) | 9 из 80 (11,25 %, если остаться: 10 %) |
| 100 | 99 из 100 (99 %) | около 1,02 % (если остаться: 1 %) |
Проверьте сами
Не обязательно верить нам на слово. Мы запустили компьютерную симуляцию на миллион игр: тот, кто оставался, выигрывал в 33,4 % случаев, а тот, кто менял, в 66,6 %. Дома это можно проверить с тремя стаканчиками и монеткой или с нашим генератором случайных чисел:
- Выберите случайное число от 1 до 3 для автомобиля и ещё одно для своего выбора.
- Ведущий открывает дверь с козой, которую вы не выбирали.
- Запишите, что выиграло бы: остаться или сменить дверь.
- Повторите 30 раз. Смена должна выиграть примерно 20 раз.
Подвох: ведущий должен знать
Ответ 2 из 3 зависит от правил. Он верен только потому, что ведущий всегда открывает дверь, всегда обходит автомобиль и всегда предлагает поменять выбор. Если бы ведущий открыл дверь наугад и за ней случайно оказалась коза, шансы действительно были бы 50 на 50. А ведущий, который предлагает поменять дверь только тогда, когда вы выбрали автомобиль, пытается вас обмануть. Наш ответ исходит из классических правил.
Откуда взялась задача
Задача названа в честь Монти Холла (Monty Hall), ведущего американского телешоу Let’s Make a Deal, хотя именно в такую игру в передаче никогда не играли. Статистик Стив Селвин (Steve Selvin) описал её в 1975 году в письмах в журнал The American Statistician. Знаменитой она стала в 1990 году, когда Мэрилин вос Савант (Marilyn vos Savant) ответила на неё в своей колонке в журнале Parade. Она посоветовала менять дверь, и тысячи читателей, среди которых было много людей с математическим образованием, написали ей, что она ошибается. Права была она.
Это хороший урок для тех, кто хочет научиться принимать решения: интуиция плохо приспособлена к вероятностям. То же самое происходит с парадоксом дней рождения и с тем, насколько плохо людям удаётся быть случайными. Пример попроще разобран в нашей статье о том, какова вероятность орла и решки.
Частые вопросы
Нужно ли менять дверь в парадоксе Монти Холла?
Да. Смена выигрывает в 2 случаях из 3, а отказ от смены в 1 случае из 3, если ведущий всегда открывает дверь с козой и всегда предлагает поменять выбор.
Почему в парадоксе Монти Холла шансы не 50 на 50?
Потому что ведущий знает, где автомобиль, и никогда не открывает эту дверь. Ваш первый выбор сохраняет шанс 1 из 3, а оставшиеся 2 из 3 переходят к другой закрытой двери.
Когда в задаче Монти Холла шансы 50 на 50?
Если ведущий открывает дверь наугад и за ней случайно оказывается коза, у двух закрытых дверей действительно шансы 50 на 50. Классический ответ верен, только когда ведущий знает, где автомобиль, и всегда его обходит.
Кто решил задачу Монти Холла?
Стив Селвин опубликовал задачу и её решение в 1975 году. Мэрилин вос Савант прославила её в 1990 году своей колонкой в Parade, где советовала менять дверь.
Как доказать ответ в задаче Монти Холла?
Переберите все три места, где может стоять автомобиль, или сыграйте много раз со стаканчиками или генератором случайных чисел. Смена выигрывает примерно в двух третях игр.