Ziegenproblem (Monty-Hall-Problem) erklärt: Warum du wechseln solltest
Du stehst in einer Spielshow vor drei Türen. Hinter einer steht ein Auto, hinter den anderen beiden je eine Ziege. Du wählst eine Tür. Der Moderator, der weiß, wo das Auto steht, öffnet eine der anderen Türen und zeigt dir eine Ziege. Dann fragt er: Bleibst du bei deiner Tür, oder wechselst du zur anderen, noch geschlossenen? Das ist das Ziegenproblem, auch Monty-Hall-Problem genannt, und die meisten Menschen liegen falsch. Hier findest du die Antwort, warum sie stimmt und wie du sie selbst testen kannst.
Die Antwort: wechseln
Wer wechselt, gewinnt das Auto in 2 von 3 Fällen. Wer bleibt, gewinnt nur in 1 von 3 Fällen. Es fühlt sich an, als müsste es 50:50 stehen, weil ja zwei Türen übrig sind, aber das stimmt nicht.
Warum Wechseln gewinnt
Deine erste Wahl trifft nur in 1 von 3 Fällen das Auto, und nichts, was der Moderator tut, ändert daran etwas. Er öffnet immer eine Ziegentür, egal welche Tür du gewählt hast, also verrät dir sein Zug nichts Neues über deine eigene Tür. Die übrige Chance von 2 aus 3 liegt jetzt auf der einen Tür, die er geschlossen gelassen hat.
Am klarsten wird es, wenn man alle Fälle aufschreibt. Angenommen, du wählst Tür 1:
| Das Auto steht hinter | Bleiben gewinnt? | Wechseln gewinnt? |
|---|---|---|
| Tür 1 (deine Wahl) | Ja | Nein |
| Tür 2 | Nein | Ja (der Moderator hat Tür 3 geöffnet) |
| Tür 3 | Nein | Ja (der Moderator hat Tür 2 geöffnet) |
Wechseln gewinnt in zwei der drei Fälle. Anders gesagt: Wechseln verliert nur, wenn du gleich am Anfang das Auto gewählt hast, und das passiert nur in 1 von 3 Fällen.
Stell dir 100 Türen vor
Wenn sich die 2 von 3 immer noch falsch anfühlen, mach das Spiel größer. Es gibt 100 Türen und ein Auto. Du wählst eine. Der Moderator, der weiß, wo das Auto steht, öffnet 98 andere Türen, alle mit Ziegen, und lässt eine geschlossen. Würdest du deine Tür behalten, die du zufällig aus 100 gewählt hast, oder die eine Tür nehmen, die er so sorgfältig ausgelassen hat? Hier wechseln fast alle, und zu Recht: Wechseln gewinnt in 99 von 100 Fällen.
Die Tabelle zeigt, wie sich die Chancen mit mehr Türen verändern. Sie zeigt auch, dass die Hilfe des Moderators zählt: Öffnet er nur eine Tür, ist Wechseln zwar immer noch besser als Bleiben, aber nur knapp.
| Türen | Alle bis auf eine geöffnet | Nur eine geöffnet |
|---|---|---|
| 3 | 2 von 3 (67 %) | 2 von 3 (67 %) |
| 4 | 3 von 4 (75 %) | 3 von 8 (37,5 %, Bleiben: 25 %) |
| 10 | 9 von 10 (90 %) | 9 von 80 (11,25 %, Bleiben: 10 %) |
| 100 | 99 von 100 (99 %) | etwa 1,02 % (Bleiben: 1 %) |
Teste es selbst
Du musst uns nicht einfach glauben. Wir haben eine Computersimulation mit einer Million Spielen laufen lassen: Bleiben gewann in 33,4 % der Fälle, Wechseln in 66,6 %. Zu Hause klappt es mit drei Bechern und einer Münze oder mit unserem Zufallszahlengenerator:
- Zieh eine Zahl von 1 bis 3 für das Auto und eine weitere für deine Wahl.
- Der Moderator öffnet eine Ziegentür, die du nicht gewählt hast.
- Notiere, ob Bleiben oder Wechseln gewonnen hätte.
- Wiederhole das 30-mal. Wechseln sollte etwa 20-mal gewinnen.
Der Haken: Der Moderator muss es wissen
Die Antwort 2 von 3 hängt von den Regeln ab. Sie stimmt nur, weil der Moderator immer eine Tür öffnet, immer das Auto meidet und immer den Wechsel anbietet. Würde er eine beliebige Tür öffnen und es käme zufällig eine Ziege zum Vorschein, stünden die Chancen wirklich 50:50. Und ein Moderator, der den Wechsel nur anbietet, wenn du das Auto gewählt hast, will dich hereinlegen. Unsere Antwort geht von den klassischen Regeln aus.
Woher das Rätsel kommt
Das Rätsel ist nach Monty Hall benannt, dem Moderator der amerikanischen Spielshow Let’s Make a Deal, auch wenn in der Show genau dieses Spiel nie vorkam. Der Statistiker Steve Selvin beschrieb es 1975 in Briefen an die Fachzeitschrift The American Statistician. Berühmt wurde es 1990, als Marilyn vos Savant es in ihrer Kolumne im Magazin Parade beantwortete. Sie riet zum Wechseln, und Tausende Leser, darunter viele mit Mathematikabschluss, schrieben ihr, dass sie falschliege. Sie hatte recht.
Für gute Entscheidungen ist das eine wichtige Lehre: Unser Bauchgefühl ist nicht für Wahrscheinlichkeiten gemacht. Dasselbe passiert beim Geburtstagsparadoxon und bei der Frage, wie schlecht Menschen darin sind, zufällig zu sein. Ein einfacheres Beispiel findest du in unserem Ratgeber zur Wahrscheinlichkeit beim Münzwurf.
FAQ
Sollte man beim Ziegenproblem wechseln?
Ja. Wechseln gewinnt in 2 von 3 Fällen, Bleiben in 1 von 3, solange der Moderator immer eine Ziegentür öffnet und immer den Wechsel anbietet.
Warum steht es beim Ziegenproblem nicht 50:50?
Weil der Moderator weiß, wo das Auto steht, und diese Tür nie öffnet. Deine erste Wahl bleibt bei 1 von 3, und die übrigen 2 von 3 wandern zur anderen geschlossenen Tür.
Wann steht es beim Ziegenproblem 50:50?
Wenn der Moderator eine beliebige Tür öffnet und dahinter zufällig eine Ziege steht, stehen die beiden geschlossenen Türen wirklich 50:50. Die klassische Antwort gilt nur, wenn der Moderator Bescheid weiß und das Auto immer meidet.
Wer hat das Ziegenproblem gelöst?
Steve Selvin veröffentlichte das Rätsel samt Lösung 1975. Marilyn vos Savant machte es 1990 mit ihrer Kolumne in Parade berühmt, in der sie zum Wechseln riet.
Wie kann ich die Lösung des Monty-Hall-Problems beweisen?
Schreib alle drei Plätze auf, an denen das Auto stehen kann, oder spiel es oft mit Bechern oder einem Zufallszahlengenerator durch. Wechseln gewinnt etwa zwei Drittel der Spiele.