Monty Hall Problemi Nedir? Kapıyı Değiştirmek Neden Kazandırır
Bir yarışma programındasınız ve karşınızda üç kapı var. Birinin arkasında bir araba, diğer ikisinin arkasında birer keçi var. Bir kapı seçiyorsunuz. Arabanın yerini bilen sunucu, diğer kapılardan birini açıp size bir keçi gösteriyor. Sonra soruyor: Kendi kapınızda mı kalacaksınız, yoksa kapalı duran diğer kapıya mı geçeceksiniz? İşte bu Monty Hall problemi ve çoğu insan yanlış cevap veriyor. Aşağıda cevabı, neden işe yaradığını ve kendiniz nasıl deneyebileceğinizi bulacaksınız.
Cevap: Değiştirin
Kapıyı değiştirirseniz arabayı 3’te 2 ihtimalle kazanırsınız. Kendi kapınızda kalırsanız ihtimal sadece 3’te 1. İki kapı kaldığı için 50/50 olmalı gibi gelir ama öyle değildir.
Değiştirmek Neden Kazandırır
İlk seçiminizin araba olma ihtimali 3’te 1’dir ve sunucunun yaptığı hiçbir şey bunu değiştirmez. Siz hangi kapıyı seçerseniz seçin, o her zaman keçili bir kapı açar; yani hamlesi kendi kapınız hakkında size yeni bir şey söylemez. Geriye kalan 3’te 2’lik ihtimal artık onun kapalı bıraktığı tek kapının üzerindedir.
Bunu görmenin en net yolu tüm durumları tek tek yazmaktır. Diyelim ki 1. kapıyı seçtiniz:
| Araba nerede | Kalan kazanır mı? | Değiştiren kazanır mı? |
|---|---|---|
| 1. kapı (sizinki) | Evet | Hayır |
| 2. kapı | Hayır | Evet (sunucu 3. kapıyı açtı) |
| 3. kapı | Hayır | Evet (sunucu 2. kapıyı açtı) |
Değiştirmek üç durumun ikisinde kazanır. Başka bir deyişle: Değiştirmek yalnızca baştan arabayı seçtiyseniz kaybettirir ve bu sadece 3’te 1 ihtimalle olur.
100 Kapı Düşünün
3’te 2 hâlâ yanlış geliyorsa oyunu büyütün. 100 kapı ve bir araba var. Birini seçiyorsunuz. Arabanın yerini bilen sunucu, hepsinin arkasında keçi olan 98 kapıyı daha açıyor ve bir kapıyı kapalı bırakıyor. 100 kapı arasından rastgele seçtiğiniz kapıda mı kalırdınız, yoksa onun özenle atladığı o tek kapıyı mı alırdınız? Burada neredeyse herkes değiştirir ve haklıdır: Değiştirmek 100’de 99 kazandırır.
Tablo, kapı sayısı arttıkça ihtimallerin nasıl değiştiğini gösteriyor. Sunucunun yardımının önemli olduğunu da gösteriyor: Sadece bir kapı açarsa değiştirmek yine kalmaktan iyidir ama yalnızca biraz.
| Kapı | Biri hariç hepsi açık | Sadece biri açık |
|---|---|---|
| 3 | 3’te 2 (%67) | 3’te 2 (%67) |
| 4 | 4’te 3 (%75) | 8’de 3 (%37,5, kalırsanız: %25) |
| 10 | 10’da 9 (%90) | 80’de 9 (%11,25, kalırsanız: %10) |
| 100 | 100’de 99 (%99) | yaklaşık %1,02 (kalırsanız: %1) |
Kendiniz Deneyin
Bizim sözümüze güvenmek zorunda değilsiniz. Bir milyon oyunluk bir bilgisayar simülasyonu yaptık: Kalan oyuncu %33,4 oranında, değiştiren ise %66,6 oranında kazandı. Evde üç bardak ve bir bozuk parayla ya da rastgele sayı üreticimizle deneyebilirsiniz:
- Araba için 1 ile 3 arasında bir sayı, kendi seçiminiz için de bir sayı daha çekin.
- Sunucu, seçmediğiniz keçili bir kapıyı açar.
- Kalmanın mı yoksa değiştirmenin mi kazanacağını not edin.
- Bunu 30 kez tekrarlayın. Değiştirmek yaklaşık 20 kez kazanmalı.
Püf Noktası: Sunucu Bilmeli
3’te 2 cevabı kurallara bağlıdır. Yalnızca sunucu her zaman bir kapı açtığı, arabadan her zaman kaçındığı ve değiştirmeyi her zaman teklif ettiği için geçerlidir. Sunucu rastgele bir kapı açsaydı ve arkasından tesadüfen keçi çıksaydı, ihtimaller gerçekten 50/50 olurdu. Sadece arabayı seçtiğinizde değiştirmeyi teklif eden bir sunucu ise sizi kandırmaya çalışıyordur. Bizim cevabımız klasik kuralları esas alır.
Bulmaca Nereden Geliyor
Bulmaca, adını Amerikan televizyon yarışması Let’s Make a Deal’in sunucusu Monty Hall’dan alır; ancak programda tam olarak bu oyun hiç oynanmadı. İstatistikçi Steve Selvin, 1975’te The American Statistician dergisine yazdığı mektuplarda bulmacayı anlattı. Bulmaca 1990’da, Marilyn vos Savant’ın Parade dergisindeki köşesinde soruyu yanıtlamasıyla ünlendi. Değiştirin dedi ve aralarında matematik diploması olan pek çok kişinin de bulunduğu binlerce okur, ona yanıldığını yazdı. Haklı olan oydu.
Bu, karar verirken akılda tutulacak iyi bir ders: Sezgilerimiz olasılık için yapılmamış. Aynı şey doğum günü paradoksunda ve insanların rastgele seçimde ne kadar kötü olduğunda da görülür. Daha basit bir örnek için yazı tura olasılığı rehberimize göz atın.
Sık Sorulan Sorular
Monty Hall probleminde kapıyı değiştirmeli misiniz?
Evet. Sunucu her zaman keçili bir kapı açtığı ve her zaman değiştirmeyi teklif ettiği sürece, değiştirmek 3’te 2, kalmak ise 3’te 1 kazandırır.
Monty Hall problemi neden 50/50 değil?
Çünkü sunucu arabanın yerini bilir ve o kapıyı asla açmaz. İlk seçiminiz 3’te 1 ihtimalini korur, geriye kalan 3’te 2 ise diğer kapalı kapıya geçer.
Monty Hall problemi ne zaman 50/50 olur?
Sunucu rastgele bir kapı açar ve arkasından tesadüfen keçi çıkarsa, kapalı iki kapının şansı gerçekten 50/50 olur. Klasik cevap yalnızca sunucu arabanın yerini bildiğinde ve arabadan her zaman kaçındığında geçerlidir.
Monty Hall problemini kim çözdü?
Steve Selvin bulmacayı ve çözümünü 1975’te yayımladı. Marilyn vos Savant ise 1990’da Parade’deki köşesinde değiştirin diyerek onu ünlü yaptı.
Monty Hall cevabını nasıl kanıtlayabilirim?
Arabanın bulunabileceği üç yeri tek tek yazın ya da oyunu bardaklarla veya bir rastgele sayı üreticisiyle defalarca oynayın. Değiştirmek oyunların yaklaşık üçte ikisini kazanır.