Cuántas veces barajar las cartas para que queden al azar

Toda partida de cartas empieza barajando, y solo es justa si esa mezcla revuelve de verdad la baraja. Entonces, ¿cuántas veces hay que barajar las cartas? La respuesta famosa es siete mezclas americanas (riffle shuffle), y las matemáticas que hay detrás son una pequeña joya de la probabilidad. Aquí verás qué significa, por qué menos no basta y por qué una mezcla por arriba (overhand shuffle) hecha sin cuidado necesita muchísimas más.

¿De cuántas formas se puede ordenar una baraja?

Una baraja estándar de 52 cartas se puede ordenar de 52 × 51 × 50 × … × 1 formas distintas. Ese número, que se escribe 52! (52 factorial), es aproximadamente un 8 seguido de 67 ceros. Aunque todas las personas de la Tierra hubieran barajado una baraja cada segundo desde el origen del universo, solo habrían visto una fracción ínfima de todos los órdenes posibles. Por eso, una baraja bien mezclada de verdad está casi con total seguridad en un orden que nunca ha existido antes.

La respuesta: siete mezclas

En 1992, los matemáticos Dave Bayer y Persi Diaconis calcularon con exactitud cuánto se acerca una baraja al azar perfecto después de un número dado de mezclas americanas, las que consisten en dividir la baraja en dos y dejar que las mitades caigan intercaladas. Su modelo mide la distancia a una baraja perfectamente aleatoria, desde el 100 % (mal mezclada) hasta el 0 % (perfecta). Estos son los valores de su fórmula, que hemos vuelto a calcular:

Hasta la cuarta mezcla, la baraja sigue lejos del azar; solo empieza a mezclarse en la quinta. A partir de ahí, la distancia se reduce más o menos a la mitad con cada mezcla extra. Con siete se acerca razonablemente por primera vez, y por eso el siete se convirtió en la regla práctica. Si quieres ir sobre seguro, mejor nueve o diez.

Por qué con pocas mezclas quedan patrones

Una mezcla americana divide la baraja en dos paquetes y los intercala, así que las cartas de cada paquete conservan su orden original. Tras una mezcla, la baraja está formada como mucho por dos secuencias ascendentes del orden anterior; tras dos, como mucho por cuatro; tras tres, como mucho por ocho. Un jugador listo (o un mago) puede aprovechar esas secuencias. Solo después de unas cinco mezclas hay suficientes secuencias para que el orden antiguo empiece a desaparecer.

¿Y la mezcla por arriba?

La mezcla por arriba, en la que pasas paquetitos de una mano a la otra, mezcla la baraja mucho más despacio, porque las cartas se mueven sobre todo en bloques y las que están juntas tienden a seguir cerca. Las estimaciones matemáticas sitúan el número necesario para una baraja bien mezclada en los miles, muchísimo más de lo que nadie hace en la mesa de la cocina. Si barajas por arriba, añade unas cuantas mezclas americanas o remueve bien las cartas sobre la mesa (smoosh): extiéndelas boca abajo y muévelas en círculos durante un rato.

¿Importa en casa?

En un juego sencillo como la guerra, barajar con pereza solo hace que se vuelvan a encontrar las mismas cartas. En los juegos en los que hay que adivinar o planear, como el de acertar si la siguiente carta será más alta o más baja (Higher or Lower), una baraja mal mezclada puede hacer que la próxima carta sea más previsible de lo que debería. Un juego de cartas solo es tan justo como su barajado, igual que a las personas no se nos da bien elegir al azar: a los humanos nos cuesta ser aleatorios.

Los ordenadores barajan de otra manera. Un programa puede producir un orden perfectamente mezclado de una sola vez, eligiendo las cartas una a una al azar (el algoritmo de Fisher-Yates). Eso sí, solo es tan bueno como su fuente de azar, es decir, como el generador de números aleatorios que use.

Preguntas frecuentes

¿Cuántas veces hay que barajar una baraja?

Unas siete mezclas americanas, según el trabajo de Bayer y Diaconis de 1992. Con menos quedan patrones claros; con nueve o diez se acerca todavía más al azar perfecto.

¿Cuántos órdenes posibles tiene una baraja de cartas?

52 factorial (52!), aproximadamente un 8 seguido de 67 ceros. Una baraja bien mezclada está casi con total seguridad en un orden que nunca ha existido antes.

¿Es aleatoria la mezcla por arriba?

Solo después de un número enorme de mezclas, que se estima en los miles, porque las cartas se mueven en bloques. Añade mezclas americanas o remueve las cartas sobre la mesa (smoosh) para mezclar bien.

¿Por qué no basta con una mezcla americana?

Una mezcla solo intercala dos paquetes, y cada paquete conserva su orden anterior, así que la baraja sigue siendo bastante previsible.

¿Cómo barajan las cartas los ordenadores?

Un buen programa usa el método de Fisher-Yates: elige al azar la carta de cada posición entre las que quedan, con un buen generador de números aleatorios.