Quantas vezes embaralhar as cartas para ficarem aleatórias

Todo jogo de cartas começa com o embaralhamento, e o jogo só é justo se ele misturar o baralho de verdade. Então, quantas vezes embaralhar as cartas? A resposta famosa é sete embaralhadas intercalando as duas metades do baralho (riffle shuffle), e a matemática por trás disso é uma pequena joia da probabilidade. Veja o que isso significa, por que menos não basta e por que embaralhar de qualquer jeito na mão (overhand shuffle) exige muito mais vezes.

De quantas formas um baralho pode ser ordenado?

Um baralho padrão de 52 cartas pode ficar em 52 × 51 × 50 × … × 1 ordens diferentes. Esse número, escrito 52! (52 fatorial), é mais ou menos 8 seguido de 67 zeros. Mesmo que cada pessoa da Terra tivesse embaralhado um baralho por segundo desde o começo do universo, todas juntas teriam visto só uma fração minúscula das ordens possíveis. Por isso, um baralho bem embaralhado de verdade está quase com certeza numa ordem que nunca existiu antes.

A resposta: sete embaralhadas

Em 1992, os matemáticos Dave Bayer e Persi Diaconis calcularam exatamente o quanto um baralho chega perto do aleatório perfeito depois de um certo número de embaralhadas riffle, aquelas em que você divide o baralho em dois e deixa as metades caírem intercaladas. O modelo deles mede a distância até um baralho perfeitamente aleatório, de 100% (mal embaralhado) até 0% (perfeito). Estes são os valores da fórmula deles, que nós recalculamos:

Até quatro embaralhadas, o baralho ainda está longe do aleatório; ele só começa a se misturar na quinta. Depois, a distância cai mais ou menos pela metade a cada embaralhada extra. Com sete ele chega razoavelmente perto pela primeira vez, e é por isso que o sete virou a regra prática. Se você quer ter bastante certeza, nove ou dez é melhor.

Por que poucas embaralhadas deixam padrões

Uma embaralhada riffle divide o baralho em dois montes e intercala os dois, então as cartas de cada monte continuam na ordem original. Depois de uma embaralhada, o baralho é formado por no máximo duas sequências crescentes da ordem antiga; depois de duas, no máximo quatro; depois de três, no máximo oito. Um jogador esperto (ou um mágico) pode aproveitar essas sequências. Só depois de umas cinco embaralhadas existem sequências suficientes para a ordem antiga começar a sumir.

E embaralhar na mão?

Embaralhar na mão, passando montinhos de uma mão para a outra, mistura o baralho bem mais devagar, porque as cartas se movem principalmente em blocos e as vizinhas tendem a continuar perto. Estimativas matemáticas colocam o número necessário para um baralho bem misturado na casa dos milhares, muito mais do que qualquer pessoa faz na mesa da cozinha. Se você embaralha assim, acrescente algumas embaralhadas riffle ou mexa bem as cartas na mesa (smoosh): espalhe-as viradas para baixo e gire-as em círculos por um tempo.

Faz diferença em casa?

Num jogo simples como Guerra, embaralhar com preguiça só faz as mesmas cartas se encontrarem de novo. Em jogos em que você adivinha ou planeja, como aquele em que se aposta se a próxima carta vai ser maior ou menor (Higher or Lower), um baralho mal embaralhado pode deixar a próxima carta mais previsível do que deveria. Um jogo de cartas só é tão justo quanto o seu embaralhamento, assim como as pessoas não são boas em escolher ao acaso: os humanos são ruins em ser aleatórios.

Os computadores embaralham de outro jeito. Um programa pode gerar uma ordem perfeitamente misturada de uma vez só, escolhendo as cartas uma a uma ao acaso (o algoritmo de Fisher-Yates). Mas isso só é tão bom quanto a sua fonte de aleatoriedade, ou seja, o gerador de números aleatórios que ele usa.

Perguntas frequentes

Quantas vezes embaralhar um baralho?

Cerca de sete embaralhadas riffle, segundo o trabalho de Bayer e Diaconis de 1992. Menos que isso deixa padrões claros; nove ou dez chegam ainda mais perto do aleatório perfeito.

Quantas ordens possíveis um baralho tem?

52 fatorial (52!), cerca de 8 seguido de 67 zeros. Um baralho bem embaralhado está quase com certeza numa ordem que nunca existiu antes.

Embaralhar na mão é aleatório?

Só depois de um número enorme de embaralhadas, estimado na casa dos milhares, porque as cartas se movem em blocos. Acrescente embaralhadas riffle ou mexa as cartas na mesa (smoosh) para misturar bem.

Por que uma embaralhada riffle não basta?

Uma embaralhada só intercala dois montes, e cada monte mantém a ordem antiga, então o baralho continua bastante previsível.

Como os computadores embaralham cartas?

Um bom programa usa o método de Fisher-Yates: escolhe ao acaso a carta de cada posição entre as que sobraram, com um bom gerador de números aleatórios.