Сколько раз тасовать колоду карт

Любая карточная игра начинается с тасовки, и честной она будет, только если колода действительно перемешана. Так сколько раз нужно тасовать колоду? Знаменитый ответ: семь тасовок врезкой (riffle shuffle), и математика за этим ответом очень красивая. Разберёмся, что он означает, почему меньшего не хватает и почему обычной тасовке из руки в руку (overhand shuffle) нужно гораздо больше повторов.

Сколькими способами можно разложить колоду?

Стандартную колоду из 52 карт можно разложить 52 × 51 × 50 × … × 1 способами. Это число записывается как 52! (факториал 52) и равно примерно 8 с 67 нулями. Даже если бы каждый человек на Земле тасовал колоду раз в секунду с самого возникновения Вселенной, все вместе они увидели бы лишь ничтожно малую долю возможных порядков. Поэтому по-настоящему хорошо перетасованная колода почти наверняка лежит в порядке, которого ещё никогда не было.

Ответ: семь тасовок

В 1992 году математики Дэйв Байер и Перси Диаконис точно рассчитали, насколько колода приближается к идеально случайной после заданного числа тасовок врезкой, когда колоду делят на две части и пролистывают половинки так, чтобы карты ложились вперемешку. Их модель измеряет расстояние до идеально случайной колоды: от 100 % (плохо перемешана) до 0 % (идеально). Вот значения по их формуле, которые мы пересчитали сами:

До четырёх тасовок колода ещё далека от случайной, перемешиваться она начинает только на пятой. Дальше расстояние с каждой новой тасовкой сокращается примерно вдвое. Семь тасовок впервые дают достаточно близкий результат, поэтому семёрка и стала практическим правилом. Если хотите полной уверенности, лучше девять или десять.

Почему после немногих тасовок остаются закономерности

Одна тасовка врезкой делит колоду на две пачки и вставляет их друг в друга, поэтому карты из каждой пачки сохраняют прежний порядок. После одной тасовки колода состоит не более чем из двух возрастающих серий старого порядка, после двух не более чем из четырёх, после трёх не более чем из восьми. Внимательный игрок (или фокусник) может этим воспользоваться. Только примерно после пяти тасовок серий становится достаточно, чтобы старый порядок начал исчезать.

А как же тасовка из руки в руку?

Обычная тасовка, при которой небольшие пачки перекладывают из одной руки в другую, перемешивает колоду гораздо медленнее: карты в основном перемещаются блоками, и соседние карты чаще всего остаются рядом. По математическим оценкам, чтобы колода хорошо перемешалась, таких тасовок нужны тысячи, гораздо больше, чем кто-либо делает за кухонным столом. Если тасуете из руки в руку, добавьте несколько тасовок врезкой или хорошенько перемешайте карты на столе (smoosh): разложите их рубашкой вверх и какое-то время поводите по столу кругами.

Важно ли это дома?

В простой игре вроде «Пьяницы» ленивая тасовка лишь приводит к тому, что встречаются одни и те же карты. В играх, где нужно угадывать или планировать, например когда угадывают, будет следующая карта старше или младше (Higher or Lower), плохо перемешанная колода может сделать следующую карту предсказуемее, чем следует. Карточная игра честна ровно настолько, насколько хороша тасовка, а людям, как известно, плохо удаётся выбирать наугад: человек плохо умеет быть случайным.

Компьютеры тасуют иначе. Программа может сразу получить идеально перемешанный порядок, выбирая карты по одной случайным образом (тасование Фишера-Йетса, Fisher-Yates). Но результат хорош ровно настолько, насколько хорош источник случайности, то есть генератор случайных чисел.

Частые вопросы

Сколько раз нужно тасовать колоду карт?

Около семи тасовок врезкой, согласно работе Байера и Диакониса 1992 года. При меньшем числе остаются явные закономерности, а девять или десять тасовок приближают колоду к идеально случайной ещё сильнее.

Сколько всего порядков у колоды карт?

Факториал 52 (52!), примерно 8 с 67 нулями. Хорошо перетасованная колода почти наверняка лежит в порядке, которого никогда раньше не было.

Случайна ли тасовка из руки в руку?

Только после очень большого числа тасовок, по оценкам тысяч, потому что карты перемещаются блоками. Чтобы хорошо перемешать колоду, добавьте тасовки врезкой или перемешайте карты на столе (smoosh).

Почему одной тасовки врезкой мало?

Одна тасовка лишь вставляет друг в друга две пачки, и каждая сохраняет свой прежний порядок, поэтому колода остаётся во многом предсказуемой.

Как тасуют карты компьютеры?

Хорошая программа использует метод Фишера-Йетса (Fisher-Yates): для каждой позиции она случайно выбирает карту из оставшихся с помощью хорошего генератора случайных чисел.