Quante volte mescolare le carte per un mazzo davvero casuale

Ogni partita a carte comincia con una mescolata, ed è equa solo se le carte vengono mescolate davvero. Quindi quante volte bisogna mescolare le carte? La risposta famosa è sette mescolate all’americana (riffle shuffle), e la matematica che c’è dietro è un piccolo gioiello di probabilità. Ecco cosa significa, perché meno non basta e perché una mescolata veloce a mano, a piccoli mazzetti (overhand shuffle), ne richiede molte di più.

In quanti modi si può ordinare un mazzo?

Un mazzo standard da 52 carte può essere disposto in 52 × 51 × 50 × … × 1 ordini diversi. Questo numero, scritto 52! (52 fattoriale), è circa 8 seguito da 67 zeri. Anche se ogni persona sulla Terra avesse mescolato un mazzo una volta al secondo dall’inizio dell’universo, tutti insieme avrebbero visto solo una frazione infinitesimale degli ordini possibili. Per questo un mazzo mescolato davvero bene si trova quasi certamente in un ordine che non è mai esistito prima.

La risposta: sette mescolate

Nel 1992 i matematici Dave Bayer e Persi Diaconis calcolarono con esattezza quanto un mazzo si avvicina al caso perfetto dopo un certo numero di mescolate all’americana, quelle in cui si divide il mazzo in due e si lasciano cadere le metà intercalate. Il loro modello misura la distanza da un mazzo perfettamente casuale, dal 100% (mescolato male) allo 0% (perfetto). Questi sono i valori della loro formula, che abbiamo ricalcolato:

Fino a quattro mescolate il mazzo è ancora lontano dal caso; comincia a mescolarsi solo alla quinta. Poi la distanza si dimezza più o meno a ogni mescolata in più. A sette ci si avvicina ragionevolmente per la prima volta, ed è per questo che il sette è diventato la regola pratica. Se vuoi andare sul sicuro, meglio nove o dieci.

Perché poche mescolate lasciano schemi

Una mescolata all’americana divide il mazzo in due pacchetti e li intercala, quindi le carte di ogni pacchetto restano nel loro ordine originale. Dopo una mescolata il mazzo è formato al massimo da due sequenze crescenti del vecchio ordine, dopo due al massimo da quattro, dopo tre al massimo da otto. Un giocatore furbo (o un prestigiatore) può sfruttare queste sequenze. Solo dopo circa cinque mescolate le sequenze sono abbastanza perché il vecchio ordine cominci a sparire.

E la mescolata a mano?

La mescolata a mano, in cui si fanno passare piccoli mazzetti da una mano all’altra, mescola il mazzo molto più lentamente, perché le carte si spostano soprattutto a blocchi e quelle vicine tendono a restare vicine. Le stime matematiche indicano che per un mazzo ben mescolato ne servono migliaia, molte di più di quante ne faccia chiunque al tavolo della cucina. Se mescoli così, aggiungi qualche mescolata all’americana o rimescola bene le carte sul tavolo (smoosh): sparpagliale coperte e falle girare in tondo per un po’.

Conta davvero a casa?

In un gioco semplice come Battaglia, mescolare con pigrizia fa solo sì che le stesse carte continuino a incontrarsi. Nei giochi in cui si indovina o si pianifica, come quello in cui si scommette se la carta successiva sarà più alta o più bassa (Higher or Lower), un mazzo mescolato male può rendere la carta successiva più prevedibile del dovuto. Un gioco di carte è equo solo quanto la sua mescolata, così come le persone non sono brave a scegliere a caso: gli esseri umani non sanno essere casuali.

I computer mescolano in un altro modo. Un programma può ottenere in un colpo solo un ordine perfettamente mescolato, scegliendo le carte una alla volta a caso (l’algoritmo di Fisher-Yates). Ma il risultato è buono solo quanto la sua fonte di casualità, cioè il generatore di numeri casuali che usa.

Domande frequenti

Quante volte bisogna mischiare un mazzo di carte?

Circa sette mescolate all’americana, secondo il lavoro di Bayer e Diaconis del 1992. Con meno restano schemi evidenti; con nove o dieci ci si avvicina ancora di più al caso perfetto.

Quanti ordini possibili ha un mazzo di carte?

52 fattoriale (52!), circa 8 seguito da 67 zeri. Un mazzo ben mescolato è quasi certamente in un ordine mai esistito prima.

La mescolata a mano è casuale?

Solo dopo un numero molto grande di mescolate, stimato nell’ordine delle migliaia, perché le carte si muovono a blocchi. Aggiungi mescolate all’americana o rimescola le carte sul tavolo (smoosh) per mescolarle bene.

Perché una sola mescolata all’americana non basta?

Una mescolata intercala solo due pacchetti, e ognuno conserva il suo vecchio ordine, quindi il mazzo resta in gran parte prevedibile.

Come mescolano le carte i computer?

Un buon programma usa il metodo di Fisher-Yates: sceglie a caso la carta di ogni posizione tra quelle rimaste, con un buon generatore di numeri casuali.