Wie oft Karten mischen? So wird ein Kartenspiel zufällig

Jedes Kartenspiel beginnt mit dem Mischen, und fair ist es nur, wenn die Karten dabei wirklich durcheinanderkommen. Wie oft muss man Karten also mischen? Die berühmte Antwort lautet: siebenmal per Riffle-Mischen, und die Mathematik dahinter ist ein kleines Schmuckstück der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hier erfährst du, was das bedeutet, warum weniger nicht reicht und warum lockeres Überhandmischen viel mehr Durchgänge braucht.

Wie viele Reihenfolgen hat ein Kartenspiel?

Ein Standardblatt mit 52 Karten lässt sich auf 52 × 51 × 50 × … × 1 verschiedene Arten anordnen. Diese Zahl, geschrieben 52! (52 Fakultät), ist ungefähr eine 8 mit 67 Nullen. Selbst wenn jeder Mensch auf der Erde seit dem Beginn des Universums jede Sekunde ein Kartenspiel gemischt hätte, hätten alle zusammen nur einen verschwindend kleinen Bruchteil der möglichen Reihenfolgen gesehen. Ein wirklich gut gemischtes Kartenspiel liegt deshalb fast sicher in einer Reihenfolge, die es noch nie gegeben hat.

Die Antwort: siebenmal

1992 berechneten die Mathematiker Dave Bayer und Persi Diaconis genau, wie nah ein Kartenspiel nach einer bestimmten Zahl von Durchgängen Riffle-Mischen dem perfekten Zufall kommt, also der Methode, bei der man den Stapel teilt und die beiden Hälften ineinanderfallen lässt. Ihr Modell misst den Abstand zu einem perfekt zufälligen Kartenspiel, von 100 % (schlecht gemischt) bis 0 % (perfekt). Das sind die Werte aus ihrer Formel, die wir nachgerechnet haben:

Bis zu vier Durchgängen ist das Kartenspiel noch weit vom Zufall entfernt; erst ab dem fünften beginnt es sich zu vermischen. Danach halbiert sich der Abstand mit jedem weiteren Durchgang ungefähr. Bei sieben ist es zum ersten Mal einigermaßen nah dran, deshalb wurde die Sieben zur Faustregel. Wer ganz sicher sein will, mischt besser neun- oder zehnmal.

Warum zu wenig Mischen Muster hinterlässt

Beim Riffle-Mischen wird der Stapel in zwei Päckchen geteilt, die ineinandergeschoben werden; die Karten jedes Päckchens bleiben dabei in ihrer ursprünglichen Reihenfolge. Nach einem Durchgang besteht das Kartenspiel aus höchstens zwei aufsteigenden Folgen der alten Reihenfolge, nach zwei aus höchstens vier, nach drei aus höchstens acht. Ein cleverer Spieler (oder ein Zauberer) kann diese Folgen ausnutzen. Erst nach etwa fünf Durchgängen gibt es genug Folgen, damit die alte Reihenfolge zu verschwinden beginnt.

Und das Überhandmischen?

Beim Überhandmischen, bei dem man kleine Päckchen von einer Hand in die andere schiebt, werden die Karten viel langsamer gemischt, weil sie meist in Blöcken wandern und benachbarte Karten oft beieinanderbleiben. Mathematische Schätzungen gehen davon aus, dass für ein gut gemischtes Kartenspiel Tausende solcher Durchgänge nötig sind, weit mehr, als irgendjemand am Küchentisch macht. Wenn du überhand mischst, ergänze ein paar Durchgänge Riffle-Mischen oder mische die Karten gründlich auf dem Tisch (smoosh): verdeckt ausbreiten und eine Weile kreisend durcheinanderschieben.

Spielt das zu Hause eine Rolle?

Bei einem einfachen Spiel wie Krieg führt nachlässiges Mischen nur dazu, dass immer wieder dieselben Karten aufeinandertreffen. In Spielen, bei denen man rät oder plant, etwa wenn man tippt, ob die nächste Karte höher oder niedriger ist (Higher or Lower), kann ein schlecht gemischtes Kartenspiel die nächste Karte vorhersehbarer machen, als sie sein sollte. Ein Kartenspiel ist nur so fair wie das Mischen, so wie auch Menschen schlecht darin sind, zufällig zu wählen: Menschen können nicht gut zufällig sein.

Computer mischen anders. Ein Programm kann auf einen Schlag eine perfekt gemischte Reihenfolge erzeugen, indem es die Karten eine nach der anderen zufällig auswählt (der Fisher-Yates-Algorithmus). Das ist allerdings nur so gut wie seine Zufallsquelle, also der Zufallszahlengenerator dahinter.

FAQ

Wie oft muss man Karten mischen?

Etwa siebenmal per Riffle-Mischen, nach der Arbeit von Bayer und Diaconis aus dem Jahr 1992. Weniger Durchgänge hinterlassen deutliche Muster; neun oder zehn kommen dem perfekten Zufall noch näher.

Wie viele mögliche Reihenfolgen hat ein Kartenspiel?

52 Fakultät (52!), ungefähr eine 8 mit 67 Nullen. Ein gut gemischtes Kartenspiel liegt fast sicher in einer Reihenfolge, die es noch nie gegeben hat.

Ist Überhandmischen zufällig?

Erst nach sehr vielen Durchgängen, geschätzt Tausenden, weil die Karten in Blöcken wandern. Ergänze Riffle-Mischen oder mische die Karten auf dem Tisch (smoosh), damit sie richtig durcheinanderkommen.

Warum reicht einmal Riffle-Mischen nicht?

Ein Durchgang schiebt nur zwei Päckchen ineinander, und jedes behält seine alte Reihenfolge, deshalb ist das Kartenspiel noch weitgehend vorhersehbar.

Wie mischen Computer Karten?

Ein gutes Programm nutzt das Fisher-Yates-Verfahren: Es wählt für jede Position zufällig eine der übrigen Karten aus, mit einem guten Zufallszahlengenerator.