Combien de fois mélanger les cartes ? La règle des sept

Toute partie de cartes commence par un mélange, et elle n’est équitable que si ce mélange brasse vraiment le jeu. Alors, combien de fois mélanger les cartes ? La réponse célèbre : sept mélanges à l’américaine (riffle shuffle), et les mathématiques qui se cachent derrière sont un petit bijou de probabilités. Voici ce que cela veut dire, pourquoi moins ne suffit pas et pourquoi un mélange rapide à la main, par petits paquets (overhand shuffle), en demande beaucoup plus.

Combien d’ordres possibles pour un jeu de cartes ?

Un jeu standard de 52 cartes peut être rangé de 52 × 51 × 50 × … × 1 façons différentes. Ce nombre, noté 52! (factorielle 52), vaut environ 8 suivi de 67 zéros. Même si chaque personne sur Terre avait mélangé un jeu une fois par seconde depuis le début de l’univers, on n’aurait vu qu’une fraction infime des ordres possibles. Un jeu vraiment bien mélangé se trouve donc presque certainement dans un ordre qui n’a jamais existé.

La réponse : sept mélanges

En 1992, les mathématiciens Dave Bayer et Persi Diaconis ont calculé précisément à quel point un jeu se rapproche du hasard parfait après un nombre donné de mélanges à l’américaine, ceux où l’on coupe le paquet en deux et où l’on laisse les deux moitiés s’entremêler. Leur modèle mesure l’écart avec un jeu parfaitement aléatoire, de 100 % (mal mélangé) à 0 % (parfait). Voici les valeurs tirées de leur formule, que nous avons recalculées :

Jusqu’à quatre mélanges, le jeu reste loin du hasard ; il ne commence à se mélanger qu’au cinquième. Ensuite, l’écart est à peu près divisé par deux à chaque mélange supplémentaire. C’est à sept qu’il devient pour la première fois raisonnablement proche, d’où la règle des sept. Pour être vraiment tranquille, neuf ou dix, c’est encore mieux.

Pourquoi trop peu de mélanges laisse des traces

Un mélange à l’américaine coupe le jeu en deux paquets et les intercale, si bien que les cartes de chaque paquet restent dans leur ordre d’origine. Après un mélange, le jeu est formé d’au plus deux séquences montantes de l’ancien ordre, après deux d’au plus quatre, après trois d’au plus huit. Un joueur malin (ou un magicien) peut exploiter ces séquences. Ce n’est qu’après environ cinq mélanges qu’il y a assez de séquences pour que l’ancien ordre commence à disparaître.

Et le mélange à la main ?

Le mélange à la main, où l’on fait passer de petits paquets d’une main à l’autre, mélange le jeu bien plus lentement, car les cartes se déplacent surtout par blocs et les cartes voisines ont tendance à rester proches. Selon les estimations mathématiques, il en faudrait des milliers pour obtenir un jeu bien mélangé, bien plus que ce que l’on fait autour de la table de la cuisine. Si vous mélangez ainsi, ajoutez quelques mélanges à l’américaine ou un bon brassage sur la table (smoosh) : étalez les cartes face cachée et faites-les tourner un moment en les remuant.

Est-ce important à la maison ?

Dans un jeu simple comme la bataille, un mélange paresseux fait seulement que les mêmes cartes se retrouvent. Dans les jeux où l’on devine ou l’on planifie, comme celui où l’on parie que la carte suivante sera plus haute ou plus basse (Higher or Lower), un jeu mal mélangé peut rendre la carte suivante plus prévisible qu’elle ne devrait l’être. Un jeu de cartes n’est équitable que si le mélange l’est, de même que les humains ont du mal à choisir au hasard : nous sommes mauvais pour être aléatoires.

Les ordinateurs mélangent autrement. Un programme peut produire d’un seul coup un ordre parfaitement mélangé, en tirant les cartes une par une au hasard (le mélange de Fisher-Yates). Mais le résultat ne vaut que ce que vaut sa source de hasard, c’est-à-dire son générateur de nombres aléatoires.

Questions fréquentes

Combien de fois faut-il mélanger un jeu de cartes ?

Environ sept mélanges à l’américaine, selon les travaux de Bayer et Diaconis de 1992. Moins laisse des motifs nets ; neuf ou dix rapprochent encore plus du hasard parfait.

Combien d’ordres possibles compte un jeu de cartes ?

Factorielle 52 (52!), soit environ 8 suivi de 67 zéros. Un jeu bien mélangé se trouve presque certainement dans un ordre qui n’a jamais existé.

Le mélange à la main est-il aléatoire ?

Seulement après un très grand nombre de mélanges, estimé en milliers, car les cartes bougent par blocs. Ajoutez des mélanges à l’américaine ou brassez les cartes sur la table (smoosh) pour bien mélanger.

Pourquoi un seul mélange à l’américaine ne suffit-il pas ?

Un mélange ne fait qu’intercaler deux paquets, et chaque paquet garde son ancien ordre, donc le jeu reste en grande partie prévisible.

Comment les ordinateurs mélangent-ils les cartes ?

Un bon programme utilise la méthode de Fisher-Yates : il choisit au hasard la carte de chaque position parmi celles qui restent, avec un bon générateur de nombres aléatoires.