Desteyi Kaç Kez Karıştırmalı? Kartlar Ne Zaman Rastgele Olur

Her kart oyunu karıştırmayla başlar ve oyun ancak bu karıştırma desteyi gerçekten karıştırıyorsa adil olur. Peki desteyi kaç kez karıştırmalı? Ünlü cevap yedi riffle karıştırmadır (riffle shuffle) ve bu cevabın arkasındaki matematik olasılığın en güzel örneklerinden biridir. Bu yazıda bunun ne anlama geldiğini, neden daha azının yetmediğini ve özensiz bir elde karıştırmanın (overhand shuffle) neden çok daha fazlasına ihtiyaç duyduğunu anlatıyoruz.

Bir Deste Kaç Farklı Şekilde Sıralanabilir?

Standart 52 kartlık bir deste 52 × 51 × 50 × … × 1 farklı şekilde sıralanabilir. 52! (52 faktöriyel) diye yazılan bu sayı, yaklaşık olarak 8’in ardından 67 sıfır gelen bir sayıdır. Dünyadaki herkes evrenin başlangıcından beri saniyede bir deste karıştırmış olsaydı bile, olası sıralamaların yok denecek kadar küçük bir kısmını görmüş olurdu. Yani gerçekten iyi karıştırılmış bir deste, neredeyse kesinlikle daha önce hiç var olmamış bir sıralamadadır.

Cevap: Yedi Karıştırma

1992’de matematikçiler Dave Bayer ve Persi Diaconis, belli sayıda riffle karıştırmadan, yani desteyi ikiye bölüp iki yarıyı birbirinin arasına akıttığınız karıştırmadan sonra bir destenin kusursuz rastgeleliğe ne kadar yaklaştığını tam olarak hesapladı. Modelleri, kusursuz rastgele bir desteye olan uzaklığı ölçer: %100 (kötü karışmış) ile %0 (kusursuz) arasında. Formüllerinden çıkan ve bizim yeniden hesapladığımız değerler şunlar:

Dört karıştırmaya kadar deste hâlâ rastgele olmaktan uzaktır; ancak beşincide karışmaya başlar. Sonra her ek karıştırmada uzaklık kabaca yarıya iner. Deste ilk kez yedide rastgeleliğe makul ölçüde yaklaşır; yedinin pratik kural olmasının nedeni de budur. İçiniz tamamen rahat olsun istiyorsanız dokuz ya da on daha iyidir.

Az Karıştırma Neden İz Bırakır?

Bir riffle karıştırma desteyi iki gruba ayırır ve bunları birbirinin arasına geçirir; böylece her gruptaki kartlar eski sıralarını korur. Bir karıştırmadan sonra deste, eski sıralamanın en fazla iki artan dizisinden oluşur; iki karıştırmadan sonra en fazla dört, üç karıştırmadan sonra en fazla sekiz. Dikkatli bir oyuncu (ya da bir sihirbaz) bu dizilerden yararlanabilir. Eski sıralamanın kaybolmaya başlaması için yeterince dizi ancak yaklaşık beş karıştırmadan sonra oluşur.

Peki Elde Karıştırma?

Küçük kart gruplarını bir elden diğerine aktardığınız elde karıştırma, desteyi çok daha yavaş karıştırır, çünkü kartlar çoğunlukla blok hâlinde hareket eder ve yan yana olan kartlar genellikle yakın kalır. Matematiksel tahminlere göre iyi karışmış bir deste için gereken karıştırma sayısı binlerle ifade edilir; bu, mutfak masasında kimsenin yapmayacağı kadar fazladır. Elde karıştırıyorsanız birkaç riffle karıştırma ekleyin ya da kartları masaya kapalı yayıp bir süre dairesel hareketlerle iyice karıştırın (smoosh).

Evde Önemli mi?

Savaş gibi basit bir oyunda özensiz karıştırma yalnızca aynı kartların tekrar tekrar karşılaşmasına yol açar. Sıradaki kartın daha büyük mü daha küçük mü olacağını tahmin ettiğiniz oyun (Higher or Lower) gibi tahmin ya da plan gerektiren oyunlarda ise iyi karışmamış bir deste sıradaki kartı olması gerekenden daha tahmin edilebilir hâle getirebilir. Kart oyunları ancak karıştırmaları kadar adildir; tıpkı insanların rastgele seçmekte iyi olmaması gibi: insanlar rastgele olmayı pek beceremez.

Bilgisayarlar farklı karıştırır. Bir program, kartları tek tek rastgele seçerek (Fisher-Yates karıştırması) tek seferde kusursuz karışmış bir sıralama üretebilir. Ama bu yöntem ancak kullandığı rastgelelik kaynağı, yani rastgele sayı üreteci kadar iyidir.

Sık Sorulan Sorular

İskambil destesi kaç kere karıştırılır?

Bayer ve Diaconis’in 1992 tarihli çalışmasına göre yaklaşık yedi riffle karıştırma. Daha azı belirgin izler bırakır; dokuz ya da on karıştırma, kusursuz rastgeleliğe daha da yaklaştırır.

Bir destenin kaç olası sıralaması vardır?

52 faktöriyel (52!), yani yaklaşık 8’in ardından 67 sıfır. İyi karıştırılmış bir deste neredeyse kesinlikle daha önce hiç var olmamış bir sıralamadadır.

Elde karıştırma rastgele midir?

Ancak çok sayıda karıştırmadan sonra (tahminler binlerce karıştırmadan söz eder), çünkü kartlar bloklar hâlinde hareket eder. İyi karıştırmak için riffle karıştırma ekleyin ya da kartları masada karıştırın (smoosh).

Neden tek bir riffle karıştırma yetmez?

Tek karıştırma yalnızca iki grubu birbirinin arasına geçirir ve her grup eski sırasını korur; bu yüzden deste büyük ölçüde tahmin edilebilir kalır.

Bilgisayarlar kartları nasıl karıştırır?

İyi bir program Fisher-Yates yöntemini kullanır: iyi bir rastgele sayı üreteciyle, her konum için kalan kartlar arasından rastgele birini seçer.